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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.4 - Ex. 97

Determine u → , sabendo que u → é ortogonal a v → = ( 1 , - 1 ,   1 ) , | u →   ∧ v → | =   18 e u → forma ângulos agudos iguais com i → e k → .

Passo 1

Tudo beleza, pessoal? Então bora partir para mais uma resolução!

O objetivo da questão é determinar um vetor u → = ( x , y , z ) . A primeira informação que temos é que u → é ortogonal a v → = ( 1 , - 1 ,   1 ) , então

u → ⋅ v → = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 1 , - 1 ,   1 ) = 0 ⇒ x - y + z = 0 ⇒ y = x + z

Assim, u → = ( x , x + z , z ) . Vamos guardar essa informação, por enquanto.

Passo 2

Além disso, | u →   ∧ v → | =   18 . Então vamos calcular u →   ∧ v → :

⎜   i →                           j →                       k →   ⎜

⎜   x                       y                       z   ⎜ = ( y + z ) i → - ( x - z ) j → + ( - x - y ) k →

⎜   1       - 1                       1     ⎜

⇒ u →   ∧ v → = ( y + z , z - x , - x - y )

Substituindo y = x + z , obtemos

u →   ∧ v → = ( y + z , z - x , - x - y ) = ( x + z + z , z - x , - x - x - z )

u →   ∧ v → = ( x + 2 z , z - x , - 2 x - z )

Agora, vamos obter o módulo de u →   ∧ v → :

| u →   ∧ v → | = ( x + 2 z ) 2 + ( z - x ) 2 + ( - 2 x - z ) 2

| u →   ∧ v → | = x 2 + 4 x z + 4 z 2 + z 2 - 2 x z + x 2 + 4 x 2 + 4 x z + z 2

| u →   ∧ v → | = 6 x 2 + 6 x z + 6 z 2 = 18

⇒ 6 x 2 + 6   x z + 6 = 18 ⇒ x 2 +   x z + z 2 = 3

Vamos deixar esse resultado reservado para daqui a pouco.

Passo 3

Por último, temos que u → forma ângulos agudos iguais com i → = ( 1,0 , 0 ) e k → = ( 0,0 , 1 ) , ou seja,

u → ⋅ i → = u → ⋅ k → ⇒ ( x , x + z , z ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) = ( x , x + z , z ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) ⇒ x = z

u → ⋅ i → > 0 ⇒ ( x , x + z , z ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) > 0 ⇒ x > 0

u → ⋅ k → > 0 ⇒ ( x , x + z , z ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) > 0 ⇒ z > 0

Agora, podemos substituir x = z na equação de segundo grau obtida no Passo 2 e determinar um valor positivo de x :

x 2 +   x z + z 2 = 3 ⇒ x 2 + x 2 + x 2 = 3

⇒ 3 x 2 = 3 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1

⇒ z = 1 ⇒ y = x + z = 2

onde escolhemos somente o valor positivo de x . Logo, ficamos com

u → = ( x , x + z , z ) = ( 1,2 , 1 ) .

Resposta

u → = ( 1,2 , 1 )