Determine se são subespaços vetoriais de F ( R ; R ) :

a) {funções contínuas);

b) { f = a s e n x + 2 ,   a ∈ R } ;

c) { f = a x 2 + b ,   a , b ∈ R } ;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos verificar cada um dos itens!!!

Passo 2

a) Do Cálculo sabemos que uma função constante é contínua, portanto, particularmente, a função f x = 0 é contínua. Também do Cálculo sabemos que a soma de duas funções contínuas e a multiplicação de uma função contínua por ume escalar real se mantêm contínuas. Logo, o conjunto {funções contínuas} é um subespaço vetorial.

b) Sejam f 1 x = a 1 s e n x + 2 e f 2 = a 2 s e n x + 2 duas funções pertencentes a { f = a s e n x + 2 ,   a ∈ R } . Temos que:

f 1 + f 2 x = f 1 x + f 2 x = ( a 1 s e n x + 2 ) + a 2 s e n x + 2 = a 1 + a 2 s e n x + 4

Logo, f 1 + f 2 ∉ { f = a s e n x + 2 ,   a ∈ R } . Ou seja, o conjunto deste item não satisfaz a segunda condição para ser um subespaço vetorial, e, portanto, ele não é um subespaço vetorial.

c) Vamos mostrar que o conjunto em questão satisfaz as 3 condições para ser um subespaço vetorial:

1- f x = 0 = 0 x 2 + 0 , portanto f x = 0 ∈ { f = a x 2 + b ,   a , b ∈ R } .

2- Sejam f 1 x = a 1 x 2 + b 1 e f 2 = a 2 x 2 + b 2 duas funções pertencentes a { f = a x 2 + b ,   a , b ∈ R } . Temos que

f 1 + f 2 x = f 1 x + f 2 x = ( a 1 x 2 + b 1 ) + a 2 x 2 + b 2 = a 1 + a 2 x 2 + ( b 1 + b 2 )

Logo, f 1 + f 2 ∈ { f = a x 2 + b ,   a , b ∈ R } .

3- Sejam f 1 x = a 1 x 2 + b 1 e t ∈ R . Temos que:

t f 1 x = t f 1 x = t a 1 x 2 + b 1 = t a 1 x 2 + ( t b 1 )

Assim, t f 1 ∈ { f = a x 2 + b ,   a , b ∈ R } .

Portanto, podemos concluir que o conjunto apresentado neste item é um subespaço vetorial.

Resposta

a) É subespaço vetorial.

b) Não é subespaço vetorial.

c) É subespaço vetorial.