Determine se são subespaços vetoriais de :
a) {funções contínuas);
b) ;
c) ;
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!
Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja um espaço vetorial e , temos que é um subespaço vetorial se:
1- ;
2- é fechado para soma vetorial, ou seja, se então ;
3- é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se e então ;
Sabendo disso, vamos verificar cada um dos itens!!!
Passo 2
a) Do Cálculo sabemos que uma função constante é contínua, portanto, particularmente, a função é contínua. Também do Cálculo sabemos que a soma de duas funções contínuas e a multiplicação de uma função contínua por ume escalar real se mantêm contínuas. Logo, o conjunto {funções contínuas} é um subespaço vetorial.
b) Sejam e duas funções pertencentes a . Temos que:
Logo, . Ou seja, o conjunto deste item não satisfaz a segunda condição para ser um subespaço vetorial, e, portanto, ele não é um subespaço vetorial.
c) Vamos mostrar que o conjunto em questão satisfaz as 3 condições para ser um subespaço vetorial:
1- , portanto .
2- Sejam e duas funções pertencentes a . Temos que
Logo, .
3- Sejam e . Temos que:
Assim, .
Portanto, podemos concluir que o conjunto apresentado neste item é um subespaço vetorial.
Resposta
a) É subespaço vetorial.
b) Não é subespaço vetorial.
c) É subespaço vetorial.