Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache o limite.

{ 1 0 n n 10 }

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Esta questão vai utilizar alguns conceitos de convergência e divergência de sequências, e para aplicá-los vamos precisar utilizar que:

l i m n → ∞ a n = L   →   A   s e q u ê n c i a   i r á   c o n v e r g i r   à   u m   l i m i t e   L .

Portanto, bora lá!

Passo 2

Aplicando então o limite desejado temos:

l i m n → ∞ 1 0 n n 10 = l i m n → ∞ e l n   1 0 n n 10

Note que nesta passagem eu alterei o numerador da fração, mas aplicar o exponencial de um logaritmo neperiano é como fazer nada, belezinha? Isso vai ser útil porque consigo aplicar L’Hospital e obter com maior facilidade a derivada no numerador, belezinha? Porquê? Utilizando de propriedades do Logaritmo, temos:

l i m n → ∞ 1 0 n n 10 = l i m n → ∞ e l n   1 0 n n 10 = l i m n → ∞ e n   l n 10 n 10 → L ' H o s p i t a l → l i m n → ∞ l n ( 10 )   e n   l n 10 10 n 9

Nós podemos aplicar L’Hospital sucessivamente e obter termos da forma:

l i m n → ∞ [ l n ( 10 ) ] 2 e n   l n   10 10 × 9 × n 8 → . . . → l i m n → ∞ [ l n ( 10 ) ] 10 e n   l n 10 10 ! = ∞

Portanto, esta sequência diverge, essa questão foi isso, te vejo na próxima, Tchauzinho!!

Resposta

D