Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache o limite.

{ 1 n + ( - 2 ) n }

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Esta questão vai utilizar alguns conceitos de convergência e divergência de sequências, e para aplicá-los vamos precisar utilizar que:

l i m n → ∞ a n = L   →   A   s e q u ê n c i a   i r á   c o n v e r g i r   à   u m   l i m i t e   L .

Portanto, bora lá!

Passo 2

Aplicando então o limite desejado temos:

l i m n → ∞ 1 n + ( - 2 ) n = l i m n → ∞ 1 n + l i m n → ∞ ( - 2 ) n

Note que se temos a soma de dois limites, onde um existe e o outro não, a soma de ambos é ilimitada uma vez que o segundo fator irá dominar eventualmente. O seguinte limite:

l i m n → ∞ 1 n = 0

Para o segundo, vamos lembrar de um breve teorema, belezinha?

Passo 3

O teorema é o seguinte:

l i m n → ∞ r n = 0   s e   | r | < 1

e

l i m n → ∞ r n   =   ∞   s e   | r |   > 1

Tendo isto em vista, podemos identificar que:

l i m n → ∞ ( - 2 ) n = ∞

Pois | - 2 | > 1 . Portanto, podemos garantir que:

l i m n → ∞ 1 n + ( - 2 ) n = ∞

A sequência então diverge. Essa questão foi isso, te vejo na próxima, tchauzinho!!

Resposta

D