Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache o limite.

{ ( 1 + 2 n ) 2 n }

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Esta questão vai utilizar alguns conceitos de convergência e divergência de sequências, e para aplicá-los vamos precisar utilizar que:

l i m n → ∞ a n = L   →   A   s e q u ê n c i a   i r á   c o n v e r g i r   à   u m   l i m i t e   L .

Portanto, bora lá!

Passo 2

Aplicando então o limite desejado temos:

l i m n → ∞ ( 1 + 2 n ) 2 n

Agora vamos aplicar uma propriedade do logaritmo neperiano e da exponencial que nos permite fazer o seguinte:

l i m n → ∞ e l n [ ( 1 + 2 n ) 2 n ] = l i m n → ∞ e 2 n × l n ( 1 + 2 / n ) = e 2 l i m n → ∞ n × l n ( 1 + 2 / n )

Nós vamos precisar aplicar L’Hospital no termo dentro da exponencial, para isso vamos reescrever isso um pouquinho, belezinha?

Passo 3

Note que:

l i m n → ∞ n × l n ( 1 + 2 / n ) = l i m n → ∞ l n ( 1 + 2 / n ) 1 / n = l i m n → ∞ l n ( 1 + 2 / n ) l i m n → ∞ 1 / n = 0 0

Como é uma indeterminação do tipo 0 / 0 podemos aplicar L’Hospital. Vamos calcular as derivadas em relação a n de ambos denominador e numerador separadamente. Bora lá!

Passo 4

Primeiramente, temos que:

d d n ( l n ( 1 + 2 n - 1 ) ) = - 2 / n 2 1 + 2 / n

Também temos que:

d d n ( 1 / n ) = - 1 / n 2

E a razão orginal toma a forma:

l i m n → ∞ n × l n ( 1 + 2 / n ) = l i m n → ∞ ( - 2 / n 2 ) / ( 1 + 2 / n ) - 1 / n 2 = l i m n → ∞ 2 ( 1 + 2 / n ) = 2

Agora vamos voltar à expressão original, e temos o nosso resultado.

Passo 5

Voltando então, temos:

l i m n → ∞ e l n [ ( 1 + 2 n ) 2 n = e 2 × 2 = e 4

A nossa sequência converge à um limite e 4 . E é isso, te vejo na próxima, tchauzinho!

Resposta

C ,   e 4