Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Swokowski - Cálculo com Geometria Análitica (Vol 2)- Ed: 2º - Capítulo 11.11 - Ex. 6
Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache o limite.
Passo 1
Eaew, tudo bem?
Esta questão vai utilizar alguns conceitos de convergência e divergência de sequências, e para aplicá-los vamos precisar utilizar que:
Portanto, bora lá!
Passo 2
Aplicando então o limite desejado temos:
Agora vamos aplicar uma propriedade do logaritmo neperiano e da exponencial que nos permite fazer o seguinte:
Nós vamos precisar aplicar L’Hospital no termo dentro da exponencial, para isso vamos reescrever isso um pouquinho, belezinha?
Passo 3
Note que:
Como é uma indeterminação do tipo podemos aplicar L’Hospital. Vamos calcular as derivadas em relação a de ambos denominador e numerador separadamente. Bora lá!
Passo 4
Primeiramente, temos que:
Também temos que:
E a razão orginal toma a forma:
Agora vamos voltar à expressão original, e temos o nosso resultado.
Passo 5
Voltando então, temos:
A nossa sequência converge à um limite . E é isso, te vejo na próxima, tchauzinho!