Determine se a serie converge ou diverge

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n))/(n^2 + 1)

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular underset(n -> oo)(lim) root(n)(a_n) = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou underset(n -> oo)(lim) root(n)(a_n) = oo a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n))/(n^2 + 1)

Passo 2

Calculando limite temos que:

underset(n -> oo)(lim) root(n)(a_n)

underset(n -> oo)(lim) root(n)((sqrt(n))/(n^2 + 1))

underset(n -> oo)(l i m) ( (n^(1 // 2))/(n^2 + 1) )^(1 // n)

underset(n -> oo)(l i m) (n^(1 // 2 n))/(( n^2 + 1 )^(1 // n))

underset(n -> oo)(l i m) (n^(1 // 2 n))/(( n^2 + 1 )^(1 // n)) = oo

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L = oo , temos que essa série diverge

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série divergente

underset(n -> oo)(l i m) (n^(1 // 2 n))/(( n^2 + 1 )^(1 // n)) = oo