Determine quais dos subconjuntos de R abaixo são subcorpo.

a) A =   {   a + b / 2 | a   ∈ Q   e   b   ∈ Q   }

b) B =   {   a + b ³ / 2 | a   ∈ Q   e   b   ∈ Q   }

c) C =   {   a 2 + b 2 | a   ∈ Q   e   b   ∈ Q   }

d) D =   {   a + b 2 | a   ∈ Z   e   b   ∈ Z   }

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Antes de resolver essa questão vamos só lembrar de um detalhe!

De acordo com a definição de corpo todos os seus subcorpos devem satisfazer a condição de associatividade, comutatividade, inverso multiplicativo, distributividade, simetria e elemento neutro.

Acho que estamos prontos para começar, vamos nessa!

Passo 2

Considerando   A =   {   a + b / 2 | a   ∈ Q   e   b   ∈ Q   }

Aplicando a definição temos que:

1) Elemento neutro

a + b 2 =     a + b 2 + 0 =   a + b 2

a + b 2 = (   a + b 2 ) . 1 =   a + b 2

2) Simetria

a + b 2 =     a + b 2 - ( a + b 2 )   =   0

3) Inverso multiplicativo

a + b 2 =     a + b 2 ( a + b 2 ) - 1   =   1

4) Distributividade

a + b 2 =     a + b 2 x     = x   a + x b 2      

5) associatividade

a + b 2 =     a + b 2 +   x     = x + ( a + b 2     )  

5) Comutatividade

a + b 2 =     b 2 + a  

a . b 2 =     b 2 . a  

Como todas as condições são satisfeita o subconjunto é um subcorpo

Passo 3

Considerando B =   {   a + b ³ / 2 | a   ∈ Q   e   b   ∈ Q   }

Aplicando a definição temos que:

1) Elemento neutro

a + b ³ 2 =     a + b ³ 2 + 0 =   a + b ³ 2

a + b ³ 2 = (   a + b ³ 2 ) . 1 =   a + b ³ 2

2) Simetria

a + b ³ 2 =     a + b ³ 2 - ( a + b ³ 2 )   =   0

3) Inverso multiplicativo

a + b ³ 2 =     a + b ³ 2 ( a + b ³ 2 ) - 1   =   1

4) Distributividade

a + b ³ 2 =     a + b ³ 2 x     = x   a + x b ³ 2      

5) associatividade

a + b ³ 2 =     a + b ³ 2 +   x     = x + ( a + b ³ 2     )  

5) Comutatividade

a + b ³ 2 =     b ³ 2 + a  

a . b ³ 2 =     b ³ 2 . a  

Como todas as condições são satisfeita o subconjunto é um subcorpo

Passo 4

Considerando     C =   {   a 2 + b 2 | a   ∈ Q   e   b   ∈ Q  

Aplicando a definição temos que:

1) Elemento neutro

a 2 + b 2 =     a 2 + b 2 + 0 = a 2 + b 2

a 2 + b 2 =   a 2 + b 2 . 1 = a 2 + b 2

2) Simetria

a 2 + b 2 =     a 2 + b 2 - ( a 2 + b 2 )   =   0

3) Inverso multiplicativo

a 2 + b 2 =     a 2 + b 2 ( a 2 + b 2 ) - 1   =   1

4) Distributividade

a 2 + b 2 =     a 2 + b 2 x     = x   a 2 + b x 2      

5) associatividade

a 2 + b 2 =     a 2 + b 2 +   x     = x + ( a 2 + b 2   )  

5) Comutatividade

a 2 + b 2 =       b 2 + a 2  

a 2 . b 2 =     b 2 . a 2  

Como todas as condições são satisfeita o subconjunto é um subcorpo

Quase acabando!

Passo 5

Considerando     C =   {   a + b 2 | a   ∈ Q   e   b   ∈ Q  

Aplicando a definição temos que:

1) Elemento neutro

a + b 2 =     a + b 2 + 0 = a + b 2

a + b 2 =   a + b 2 . 1 = a + b 2

2) Simetria

a + b 2 =     a + b 2 - ( a + b 2 )   =   0

3) Inverso multiplicativo

a + b 2 =     a + b 2 ( a + b 2 ) - 1   =   1

4) Distributividade

a + b 2 =     a + b 2 x     = x   a + b x 2      

5) associatividade

a + b 2 =     a + b 2 +   x     = x + ( a + b 2   )  

5) Comutatividade

a + b 2 =       b + a 2  

a . b 2 =     b 2 . a  

Como todas as condições são satisfeita o subconjunto é um subcorpo

Resposta

Todas os subconjuntos configuram um subcorpo