Enunciado

Determine se os subconjuntos do R 3

(a) 0 ;   0 ;   0 , ( 1 ;   0 ; - 2 )   ⊂   R 3 e (b) 1 ;   0 ;   - 2 , ( 1 ; 2 ; 1 )   ⊂   R 3

(c) 1 ;   0 ;   - 2 , ( 2 ; 0 ; - 4 )   ⊂   R 3 são LIs

(d) Caracterize, de forma geral, os conjuntos de dois elemento que são LI.

Passo 1

Vamos começar mais uma questão galera!

Para isso vamos lembrar da definição de LI e LD.“Definição 1.15 (linearmente dependente/independente) Os vetores v 1 ;   v 2 ;   …   ;   v p são ditos linearmente dependentes (abreviamos por LD) se existem t 1 ; … ; t p   ∈ R com pelo menos um deles não-nulo e

∑ i = 1 p t i   v i   = 0

Pelo Lema 1.14, v 1 ;   v 2 ;   …   ;   v p com p   >   1 será LD se, e só se, um dos vetores é combinação linear dos demais.

Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente (abreviamos por LI). Mais explicitamente, se

∑ i = 1 p t i   v i   = 0

Então t 1 = t 2 = … = t p = 0

Ou seja, Se o vetor u   tem que ser igual a zero se t ≠ 0

Para ser LD devemos ter o vetor tem que ser igual a zero se t ≠ 0 . Assim se u ≠ 0 o vetor é LI.

Passo 2

Agora vamos analisar:

Letra (a): 0 ;   0 ;   0 , ( 1 ;   0 ; - 2 ) não é LI, 1 ;   0 ; - 2 ≠ α 0 ;

Letra (b): 1 ;   0 ;   - 2 , ( 1 ; 2 ; 1 )   é LI, pois o vetor é diferente de zero e não são múltiplos entre si.

Letra (c): 1 ;   0 ;   - 2 , 2 ; 0 ; - 4 não é LI, e sim LD, pois os vetores são múltiplos: 2 1 ;   0 ;   - 2 = 2 ; 0 ; - 4

Letra (d): Um conjunto de dois elementos, u ,     v   é LD se e só se um dos vetores é múltiplo do outro, isto é, u   = α v ou v =   α u , para algum α .

Resposta

(a) Não. (b) Sim. (c) Não. (d) Um conjunto de dois elementos, u ,     v   é LD se e só se um dos vetores é múltiplo do outro, isto é, u   = α v ou v =   α u , para algum α . Note que, no item a, 0   =   0 ( 1 ;   0 ; - 2 ) , mas 1 ;   0 ; - 2 ≠ α 0 = 0   ∀ α .