Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Marco Cabral e Paulo Goldfeld - Fundamentos e Aplicações- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 5
Determine se os subconjuntos do
(a) e (b)
(c) são LIs
(d) Caracterize, de forma geral, os conjuntos de dois elemento que são LI.
Passo 1
Vamos começar mais uma questão galera!
Para isso vamos lembrar da definição de LI e LD.“Definição 1.15 (linearmente dependente/independente) Os vetores são ditos linearmente dependentes (abreviamos por LD) se existem com pelo menos um deles não-nulo e
Pelo Lema 1.14, com será LD se, e só se, um dos vetores é combinação linear dos demais.
Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente (abreviamos por LI). Mais explicitamente, se
Então ”
Ou seja, Se o vetor tem que ser igual a zero se
Para ser LD devemos ter o vetor tem que ser igual a zero se . Assim se o vetor é LI.
Passo 2
Agora vamos analisar:
Letra (a): não é LI, ;
Letra (b): é LI, pois o vetor é diferente de zero e não são múltiplos entre si.
Letra (c): não é LI, e sim LD, pois os vetores são múltiplos:
Letra (d): Um conjunto de dois elementos, é LD se e só se um dos vetores é múltiplo do outro, isto é, ou , para algum .
Resposta
(a) Não. (b) Sim. (c) Não. (d) Um conjunto de dois elementos, é LD se e só se um dos vetores é múltiplo do outro, isto é, ou , para algum . Note que, no item a, , mas .