Determine se os subconjuntos do R 3

(a) ( 0 ;   0 ;   0 ) e (b) ( 1 ;   0 ; - 2 ) são LIs.

(c) Caracterize, de forma geral, os conjuntos de um único elemento que são LI.

Passo 1

Vamos começar mais uma questão galera!

Para isso vamos lembrar da definição de LI e LD.“Definição 1.15 (linearmente dependente/independente) Os vetores v 1 ;   v 2 ;   …   ;   v p são ditos linearmente dependentes (abreviamos por LD) se existem t 1 ; … ; t p   ∈ R com pelo menos um deles não-nulo e

∑ i = 1 p t i   v i   = 0

Pelo Lema 1.14, v 1 ;   v 2 ;   …   ;   v p com p   >   1 será LD se, e só se, um dos vetores é combinação linear dos demais.

Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente (abreviamos por LI). Mais explicitamente, se

∑ i = 1 p t i   v i   = 0

Então t 1 = t 2 = … = t p = 0

Ou seja, Se o vetor u   tem que ser igual a zero se t ≠ 0

Para ser LD devemos ter o vetor tem que ser igual a zero se t ≠ 0 . Assim se u ≠ 0 o vetor é LI.

Passo 2

Agora vamos analisar:

Letra (a): ( 0 ;   0 ;   0 ) é LD, pois independente do valor de t ,o somatório é igual a zero;

Letra (b): ( 1 ;   0 ; - 2 ) é LI, pois o vetor é diferente de zero.

Letra (c): ( 0 ) é o único conjunto de um único elemento que é LD.

Resposta

(a) Não. (b) Sim. (c) O único conjunto de um único elemento que é LD é ( 0 ) .