Determine se os subconjuntos do R 3

(a) 1 ;   0 ; - 2 , 2 ;   1 ; 1 , 4 ;   1 ;   - 1   e (b) 1 ;   0 ;   - 2 , 2 ; 1 ; 1 , ( 1 ; 2 ; 8 ) são LIs

(c) Existe uma caracterização fácil dos conjuntos de três elementos que são LI? (Fácil no sentido de que se possa decidir “de cabeça” se o conjunto é ou não LI, sem a necessidade de se escalonar nada.)

Passo 1

Vamos começar mais uma questão galera!

Para isso vamos lembrar da definição de LI e LD.“Definição 1.15 (linearmente dependente/independente) Os vetores v 1 ;   v 2 ;   …   ;   v p são ditos linearmente dependentes (abreviamos por LD) se existem t 1 ; … ; t p   ∈ R com pelo menos um deles não-nulo e

∑ i = 1 p t i   v i   = 0

Pelo Lema 1.14, v 1 ;   v 2 ;   …   ;   v p com p   >   1 será LD se, e só se, um dos vetores é combinação linear dos demais.

Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente (abreviamos por LI). Mais explicitamente, se

∑ i = 1 p t i   v i   = 0

Então t 1 = t 2 = … = t p = 0

Ou seja, Se o vetor u   tem que ser igual a zero se t ≠ 0

Para ser LD devemos ter o vetor tem que ser igual a zero se t ≠ 0 . Assim se u ≠ 0 o vetor é LI.

Passo 2

Agora vamos analisar:

Letra (a): 1 ;   0 ; - 2 , 2 ;   1 ; 1 , 4 ;   1 ;   - 1   é LI, pois o vetor é diferente de zero e não são múltiplos entre si.

Letra (b): 1 ;   0 ;   - 2 , 2 ; 1 ; 1 , ( 1 ; 2 ; 8 )   não é LI.

Letra (c): Não.

Resposta

(a) Sim. (b) Não. (c) Não.