Determine se é subespaço vetorial de :
a) O conjunto solução de um sistema linear homogêneo;
b) O conjunto solução de um sistema linear cujo lado direito tem como entrada inteiros maiores do que 1;
c) Plano passando pela origem no espaço;
d) Reta que não passa pela origem no plano;
e) Parábola que passa pela origem no plano;
f) Primeiro quadrante do plano;
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!
Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja um espaço vetorial e , temos que é um subespaço vetorial se:
1- ;
2- é fechado para soma vetorial, ou seja, se então ;
3- é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se e então ;
Sabendo disso, vamos verificar cada um dos itens!!!
Passo 2
a) Seja a matriz de coeficientes do sistema. O conjunto solução desse sistema é dado por . Então vamos ver se esse conjunto satisfaz cada uma das condições para ser um subespaço vetorial:
1- Como é a solução trivial do sistema , segue que .
2- Sejam , temos que:
Portanto, .
3- Seja e , temos:
Assim, .
Logo, é um subespaço vetorial.
b) Seja a matriz de coeficientes do sistema. Como o lado direito desse sistema é composto por inteiros maiores que , o vetor não pode fazer parte do conjunto solução desse sistema, pois . Dessa forma, já está provado que o conjunto não satisfaz uma das condições para ser um subespaço vetorial, ou seja, está provado que o conjunto não é um subespaço vetorial.
c) Um plano passando pela origem no espaço é dado pelo seguinte conjunto . Vamos verificar se esse conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial:
1- Como temos que .
2- Sejam , temos que:
Assim, .
3- Sejam e , temos que:
Portanto, .
Dessa forma, está provado que é um subespaço vetorial.
d) Como a reta não passa na origem, temos que o ponto não pertence à reta, o que faz com que a primeira condição para que um conjunto seja um subespaço vetorial não seja cumprida. Logo, o conjunto deste item não é um subespaço vetorial.
e) Para facilitar, vamos pensar geometricamente nessa questão. Vamos considerar uma parábola com eixo de simetria vertical (o caso para o eixo de simetria horizontal é análogo) e concavidade para cima (o caso com concavidade para baixo é análogo). Seja um ponto dessa parábola, com . Obviamente, está acima do eixo , assim como todos os pontos da parábola, exceto que pertence a esse eixo. Portanto, multiplicando por um real , obteremos um ponto que está abaixo do eixo , pois , e sendo assim não poderá pertencer a parábola. Logo, o conjunto em questão não satisfaz a terceira condição para ser um subespaço vetorial, de forma que ele não pode ser um.
f) O primeiro quadrante do plano é dado pelo seguinte conjunto . Sendo assim, seja com , e , , temos que ou , e assim, , ou seja, a terceira condição para que um conjunto seja um subespaço vetorial não está sendo cumprida. Logo, o conjunto deste item não é um espaço vetorial.
Resposta
a) É um subespaço vetorial.
b) Não é um subespaço vetorial.
c) É um subespaço vetorial.
d) Não é um subespaço vetorial.
e) Não é um subespaço vetorial.
f) Não é um subespaço vetorial.