Determine se é subespaço vetorial de R n :

a) O conjunto solução de um sistema linear homogêneo;

b) O conjunto solução de um sistema linear cujo lado direito tem como entrada inteiros maiores do que 1;

c) Plano passando pela origem no espaço;

d) Reta que não passa pela origem no plano;

e) Parábola que passa pela origem no plano;

f) Primeiro quadrante do plano;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos verificar cada um dos itens!!!

Passo 2

a) Seja A ∈ M m × n ( R ) a matriz de coeficientes do sistema. O conjunto solução desse sistema é dado por U =   x ∈ R n     A x = 0 } . Então vamos ver se esse conjunto satisfaz cada uma das condições para ser um subespaço vetorial:

1- Como 0 é a solução trivial do sistema A x = 0 , segue que 0 ∈ U .

2- Sejam x 1 , x 2 ∈ U , temos que:

A x 1 + x 2 = A x 1 + A x 2 = 0 + 0 = 0

Portanto, x 1 + x 2 ∈ U .

3- Seja x 1 ∈ U e t ∈ R , temos:

A t x 1 = t A x 1 = t × 0 = 0

Assim, t x 1 ∈ U .

Logo, U é um subespaço vetorial.

b) Seja A ∈ M m × n ( R ) a matriz de coeficientes do sistema. Como o lado direito desse sistema é composto por inteiros maiores que 1 , o vetor 0 ∈ R n não pode fazer parte do conjunto solução desse sistema, pois A 0 = 0 . Dessa forma, já está provado que o conjunto não satisfaz uma das condições para ser um subespaço vetorial, ou seja, está provado que o conjunto não é um subespaço vetorial.

c) Um plano passando pela origem no espaço é dado pelo seguinte conjunto U = x , y , z ∈ R 3     a x + b y + c z = 0   c o m   a , b , c ∈ R } . Vamos verificar se esse conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial:

1- Como a 0 + b 0 + c 0 = 0 temos que 0 ,   0,0 ∈ U .

2- Sejam x 1 , y 1 , z 1 ,   x 2 ,   y 2 , z 2 ∈ U , temos que:

a x 1 + x 2 + b y 1 + y 2 + c z 1 + z 2 = a x 1 + a x 2 + b y 1 + b y 2 + c z 1 + c z 2 = a x 1 + b y 1 + c z 1 + a x 2 + b y 2 + c z 2 = 0 + 0 = 0

Assim, x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 ,   z 1 + z 2 ∈ U .

3- Sejam x 1 ,   y 1 ,   z 1 ∈ U e t ∈ R , temos que:

a t x 1 + b t y 1 + c t z 1 = t a x 1 + b y 1 + c z 1 = t 0 = 0

Portanto, t x 1 ,   t y 1 ,   t z 1 ∈ U .

Dessa forma, está provado que U é um subespaço vetorial.

d) Como a reta não passa na origem, temos que o ponto ( 0,0 ) não pertence à reta, o que faz com que a primeira condição para que um conjunto seja um subespaço vetorial não seja cumprida. Logo, o conjunto deste item não é um subespaço vetorial.

e) Para facilitar, vamos pensar geometricamente nessa questão. Vamos considerar uma parábola com eixo de simetria vertical (o caso para o eixo de simetria horizontal é análogo) e concavidade para cima (o caso com concavidade para baixo é análogo). Seja P 1 = ( x 1 , y 1 ) um ponto dessa parábola, com y 1 ≠ 0 . Obviamente, P 1 está acima do eixo x , assim como todos os pontos da parábola, exceto ( 0 ,   0 ) que pertence a esse eixo. Portanto, multiplicando P 1 por um real t < 0 , obteremos um ponto P 2 que está abaixo do eixo x , pois t y 1 < 0 , e sendo assim P 2 não poderá pertencer a parábola. Logo, o conjunto em questão não satisfaz a terceira condição para ser um subespaço vetorial, de forma que ele não pode ser um.

f) O primeiro quadrante do plano é dado pelo seguinte conjunto U = x , y ∈ R 2 x ≥ 0 ,   y ≥ 0 } . Sendo assim, seja x 1 ,   y 1 ∈ U com x 1 , y 1 ≠ ( 0,0 ) , e t ∈ R , t < 0 , temos que t x 1 < 0 ou t y 1 < 0 , e assim, t x 1 ,   t y 1 ∉ U , ou seja, a terceira condição para que um conjunto seja um subespaço vetorial não está sendo cumprida. Logo, o conjunto deste item não é um espaço vetorial.

Resposta

a) É um subespaço vetorial.

b) Não é um subespaço vetorial.

c) É um subespaço vetorial.

d) Não é um subespaço vetorial.

e) Não é um subespaço vetorial.

f) Não é um subespaço vetorial.