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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Marco Cabral e Paulo Goldfeld - Fundamentos e Aplicações- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 18a

Determine se é subespaço vetorial de P 4 (espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 4). Em caso afirmativo determine uma base e dimensão

p ∈ P 4     p 2 = 0 }

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Seja S = p ∈ P 4     p 2 = 0 } . Seja p ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e um elemento qualquer de S . Como p 2 = 0 , temos:

a × 2 4 + b × 2 3 + c × 2 2 + d × 2 + e = 0 ⇒

16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = 0 ⇒

e = - 16 a - 8 b - 4 c - 2 d

Portanto, p ( x ) pode ser escrito como:

p x = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + - 16 a - 8 b - 4 c - 2 d ⇒

p x = a x 4 - 16 + b x 3 - 8 + c x 2 - 4 + d ( x - 2 )

Sendo assim, vamos verificar se S satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial:

1-Como 0 = 0 x 4 - 16 + 0 x 3 - 8 + 0 x 2 - 4 + 0 ( x - 2 ) , podemos concluir que 0 ∈ S .

2- Sejam p 1 x = a 1 x 4 - 16 + b 1 x 3 - 8 + c 1 x 2 - 4 + d 1 ( x - 2 ) e p 2 x = a 2 x 4 - 16 + b 2 x 3 - 8 + c 2 x 2 - 4 + d 2 ( x - 2 ) dois vetores de S . Temos que:

p 1 x + p 2 x = a 1 x 4 - 16 + b 1 x 3 - 8 + c 1 x 2 - 4 + d 1 x - 2 + a 2 x 4 - 16 + b 2 x 3 - 8 + c 2 x 2 - 4 + d 2 x - 2 ⇒

p 1 x + p 2 x = a 1 + a 2 x 4 - 16 + b 1 + b 2 x 3 - 8 + c 1 + c 2 x 2 - 4 + ( d 1 + d 2 ) ( x - 2 )

Portanto, p 1 x + p 2 x ∈ S .

3- Sejam p 1 x = a 1 x 4 - 16 + b 1 x 3 - 8 + c 1 x 2 - 4 + d 1 ( x - 2 ) um vetor de S e k um valor real. Temos que:

k p 1 x = k a 1 x 4 - 16 + b 1 x 3 - 8 + c 1 x 2 - 4 + d 1 x - 2 ⇒

k p 1 x = k a 1 x 4 - 16 + k b 1 x 3 - 8 + k c 1 x 2 - 4 + ( k d 1 ) ( x - 2 )

Portanto, k p 1 x ∈ S .

Logo, podemos concluir que S é um subespaço vetorial. Além disso, como um vetor qualquer de S é dado por p x = a x 4 - 16 + b x 3 - 8 + c x 2 - 4 + d ( x - 2 ) , temos que { x 4 - 16 ,   x 3 - 8 ,   x 2 - 4 ,   x - 2 } é um conjunto gerador de S , e como esse conjunto é LI, concluímos que ele é uma base para S , ou seja, dim ⁡ S = 4 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)