Determine se é subespaço vetorial de P 4 (espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 4). Em caso afirmativo determine uma base e dimensão

p ∈ P 4     p 2 = 1 }

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Seja S = p ∈ P 4     p 2 = 1 } . Seja p ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e um elemento qualquer de S . Como p 2 = 1 , temos:

a × 2 4 + b × 2 3 + c × 2 2 + d × 2 + e = 1 ⇒

16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = 1 ⇒

e = 1 - 16 a - 8 b - 4 c - 2 d

Portanto, p ( x ) pode ser escrito como:

p x = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + 1 - 16 a - 8 b - 4 c - 2 d ⇒

p x = a x 4 - 16 + b x 3 - 8 + c x 2 - 4 + d x - 2 + 1

Podemos ver claramente que não existem valores de a , b , c e d tais que:

a x 4 - 16 + b x 3 - 8 + c x 2 - 4 + d x - 2 + 1 = 0

Sendo assim, temos que 0 ∉ S , ou seja, o conjunto S não satisfaz a primeira condição para ser um subespaço vetorial, donde concluímos que S não é um subespaço vetorial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)