Determine se é subespaço vetorial de R^3 :

{(a , b , c) in R^3| a , b in R , 2 a + 3 b = 5 c }

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U sub V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 in U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u , v in U então u + v in U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k in R e u in U então k u in U ;

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Vamos verificar se o nosso conjunto satisfaz cada uma das condições para ser um subespaço vetorial de R^3 :

1- Como 2 xx 0 + 3 xx 0 = 5 xx 0 , temos que ( 0,0 , 0 ) pertence ao nosso conjunto.

2- Sejam v_1 = (a_1 , b_1 , (2 a_1 + 3 b_1)/(5)) e v_2 = (a_2 , b_2 , (2 a_2 + 3 b_2)/(5)) dois vetores quaisquer do nosso conjunto. Temos que:

v_1 + v_2 = (a_1 + a_2 , b_1 + b_2 , (2 (a_1 + a_2) + 3 (b_1 + b_2))/(5))

Portanto, v_1 + v_2 pertence ao nosso conjunto.

3- Sejam v_1 = (a_1 , b_1 , (2 a_1 + 3 b_1)/(5)) um vetor qualquer do nosso conjunto e lambda in R . Temos que:

lambda v_1 = ( lambda a_1 , lambda a_2 , (2 (lambda a_1) + 3 ( lambda b_1 ))/(5) )

Portanto, lambda v_1 pertence ao nosso conjunto.

Dessa maneira, chegamos à conclusão que o nosso conjunto é um subespaço vetorial de R^3 .

Resposta

É subespaço vetorial de R^3 .