Determine a superfície esférica de maior área, tangente aos planos coordenados e que passa pelo ponto P = ( 2 , - 5 , - 1 ) .

Passo 1

E aí, pessoal! Vamos começar escrevendo a equação de uma superfície esférica genérica com centro em C = ( a , b , c ) e raio r :

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = r 2

Os planos coordenados são

π 1 = x = 0

π 2 = y = 0

π 3 = z = 0

Passo 2

Como esses planos tangenciam a superfície esférica, a distância entre eles e o centro da esfera é a mesma e igual ao raio:

d ( C , π 1 ) = d ( C , π 2 ) = d ( C , π 3 ) = r

Vamos lembrar a equação da distância

r = d ( C ,   π )   =   | a ⋅ x 0   +   b ⋅ y 0   +   c ⋅ z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2  

Assim, temos

d ( C , π 1 ) = d ( C , π 2 ) = d ( C , π 3 ) = r ⇒ | a | 1 = | b | 1 = | c | 1 = r

Como a esfera contém o ponto P = ( 2 , - 5 , - 1 ) , ou seja, x ≥ 0 ,   y ≤ 0 , z ≤ 0 , então obtemos

a = - b = - c = r

Então, a equação da superfície esférica se torna:

( x - r ) 2 + ( y + r ) 2 + ( z + r ) 2 = r 2

Passo 3

Para fechar essa questão com chave de ouro, só precisamos lembrar que o ponto P = ( 2 , - 5 , - 1 ) está na superfície esférica. Então, substituindo esse ponto na equação da esfera, obtemos

( 2 - r ) 2 + ( - 5 + r ) 2 + ( - 1 + r ) 2 = r 2

⇒ 4 - 4 r + r 2 + 25 - 10 r + r 2 + 1 - 2 r + r 2 = r 2

⇒ 2 r 2 - 16 r + 30 = 0

⇒ r 2 - 8 r + 15 = 0

⇒ ( r - 3 ) ( r - 5 ) = 0

Então temos as opções r =   3   o u   r = 5 . Como queremos a esfera de maior área, vamos escolher o maior raio, que é   r = 5 :

( x - 5 ) 2 + ( y + 5 ) 2 + ( z + 5 ) 2 = 25

Resposta

( x - 5 ) 2 + ( y + 5 ) 2 + ( z + 5 ) 2 = 25