Determine todos os números primos que podem ser expressos na forma n 2 - 1 . Sugestão: Suponha p = n 2 – 1 um número primo e fatore o segundo membro dessa igualdade.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos usar a sugestão dos queridos autores, estão nos dando essa ajuda vamos nos esbaldar então!

Considerando p um número primo escrito como:

p = n 2 - 1

Podemos abrir essa relação na diferença de quadrados:

p = n + 1 n - 1

Então p é divisível por 1, por ele mesmo, por n + 1 e n – 1, o que contraria a definição de um número primo.

Passo 2

E agora? Devemos evitar que isso ocorra, certo? Então devemos considerar n – 1 ou n + 1 igual a 1.

Portanto:

Se n - 1 = 1 então n = 2 ⇒ p = 3 , que, de fato, é um número primo.

Se n + 1 = 1 entao n = 0 ⇒ p = - 1 , que não é um número primo.

Dessa forma, o número 3 é o único valor possível que p pode assumir se sua forma for n 2 - 1 .

Resposta

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