Determine todos os valores possíveis para tais que o sistema possua:
a) nenhuma solução;
b) infinitas soluções;
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!
Sejam a matriz de coeficientes e a matriz estendida referente a um determinado sistema linear. Lembrando que a definição de posto de uma matriz diz respeito ao total de linhas não nulas dessa matriz na forma escalonada, temos que o número de soluções do sistema é definido da seguinte maneira:
1- Se o sistema não possui nenhuma solução, pois teremos uma equação degenerada (equação da forma ).
2- Se e o sistema possuirá uma única solução, pois ele não possuirá variáveis livres (o número de variáveis livres do sistema é definido como ).
3- Se e o sistema possuirá infinitas soluções, pois ele possuirá pelo menos uma variável livre.
Passo 2
A matriz ampliada do sistema é dada por:
Onde percebemos que essa matriz já está na forma escalonada.
Tendo essas informações, vamos aos itens:
Passo 3
a) Para que um sistema não tenha solução ele deve conter uma equação degenerada. A única equação do nosso sistema que pode ser degenerada é a terceira, e isso ocorre quando fazemos e .
b) Obtemos infinitas soluções quando temos pelo menos uma variável livre. No caso do nosso sistema, para que isso aconteça, devemos ter pelo menos uma linha nula, pois assim ficaríamos com o posto da matriz menor do que o número de variáveis do sistema. Vemos claramente, que a única linha da matriz que pode ser zerada é a última, e obtemos isso fazendo e .
Resposta
a) e .
b) .