Determine todos os valores possíveis para a ,   b ,   c ,   d ∈ R tais que o sistema x + 2 y + 3 z = a 5 y + 6 z = b c z = d possua:

a) nenhuma solução;

b) infinitas soluções;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!

Sejam A a matriz de coeficientes e B a matriz estendida referente a um determinado sistema linear. Lembrando que a definição de posto de uma matriz diz respeito ao total de linhas não nulas dessa matriz na forma escalonada, temos que o número de soluções do sistema é definido da seguinte maneira:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema não possui nenhuma solução, pois teremos uma equação degenerada (equação da forma 0 x + 0 y + 0 z = 1 ).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a ) o sistema possuirá uma única solução, pois ele não possuirá variáveis livres (o número de variáveis livres do sistema é definido como n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a - p o s t o ( A ) ).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a ) o sistema possuirá infinitas soluções, pois ele possuirá pelo menos uma variável livre.

Passo 2

A matriz ampliada do sistema é dada por:

1 2 3 | a 0 5 6 | b 0 0 c | d

Onde percebemos que essa matriz já está na forma escalonada.

Tendo essas informações, vamos aos itens:

Passo 3

a) Para que um sistema não tenha solução ele deve conter uma equação degenerada. A única equação do nosso sistema que pode ser degenerada é a terceira, e isso ocorre quando fazemos c = 0 e d ≠ 0 .

b) Obtemos infinitas soluções quando temos pelo menos uma variável livre. No caso do nosso sistema, para que isso aconteça, devemos ter pelo menos uma linha nula, pois assim ficaríamos com o posto da matriz menor do que o número de variáveis do sistema. Vemos claramente, que a única linha da matriz que pode ser zerada é a última, e obtemos isso fazendo c = 0 e d = 0 .

Resposta

a) c = 0 e d ≠ 0 .

b) c = d = 0 .