Determine o valor exato da expressão, quando for definido.

  1. c o t a r c s e n - 2 5
  2. s e c a r c t g 7 4
  3. c s c a r c c o s 1 5

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com funções trigonométricas inversas e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão de suas propriedades e relembrar a tabela de ângulos notáveis.

— 1° Propriedade (Definição 8.1 e 8.2)

A função inversa do seno, denotada por “ a r c s e n ”, define-se como

y = a r c s e n x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = s e n ( y )

Para - 1 ≤ x ≤ 1 e, - π 2 ≤ y ≤ π 2 . Em outras palavras,

i   s e n a r c s e n x = x ;             s e - 1 ≤ x ≤ 1

i i   a r c s e n s e n x = x ;             s e - π 2 ≤ x ≤ π 2

— 2° Propriedade (Definição 8.3 e 8.4)

A função inversa do cosseno, denotada por “ a r c c o s ”, define-se como

y = a r c c o s x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = c o s ( y )

Para - 1 ≤ x ≤ 1 e, - π ≤ y ≤ π . Em outras palavras,

i   c o s a r c c o s x = x ;                     s e - 1 ≤ x ≤ 1                                                                          

i i   a r c c o s c o s x = x ;                 s e   0 ≤ x ≤ π                                                                                  

— 3° Propriedade (Definição 8.5 e 8.6)

A função inversa da tangente, ou função arco tangente, denotada por “ a r c t g ”, define-se como

y = a r c t g x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = t g ( y )

Para todo x e - π 2 ≤ y ≤ π 2 . Em outras palavras,

i   t g a r c t g x = x ;                   p a r a   t o d o   x                                                                                                

i i   a r c t g t g x = x ;                 s e - π 2 ≤ x ≤ π 2                                                                                  

— 4° Propriedade (Definição 8.7)

A função arco secante denotada por “ a r c s e c ” (ou “ s e c - 1 ”), define-se como

y = a r c s e c x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = s e c ( y )

Para todo x ≥ 1 e y em 0 , π 2 ou em π , 3 π 2 .

Observe que estas funções estão limitadas a diferentes intervalos, logo valores que não pertencem a estes intervalos respeitam as propriedades de arcos côngruos e a paridade das funções.

Em seguida, temos a tabela de ângulos notáveis como conhecemos no ensino médio.

A imagem abaixo mostra os valores dos ângulos da tabela correspondentes nos demais quadrantes.

Passo 2

Compreendendo as propriedades das funções trigonométricas inversas, vamos resolver a questão.

  1. Temos que,
  2. c o t a r c s e n - 2 5

    Por definição,

    c o t ⁡ ( x ) = 1 t g ( x ) = cos ⁡ x s e n ( x )

    Sabendo que

    a r c s e n x = y   ↔ sen ⁡ y = x

    Já temos que o valor de s e n x = - 2 5 . Para encontrar o valor de c o s ⁡ ( x ) , vamos utilizar a identidade trigonométrica

    s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

    cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

    cos ⁡ x = 1 - s e n 2 x

    Dessa forma,

    c o t ⁡ ( x ) = 1 - s e n 2 x - 2 5

    = 1 - - 2 5 2 × 5 2

    = 1 - 4 25 × 5 2

    = 25 - 4 25 × 5 2

    = 21 25 × 5 2

    = 21 5 × 5 2

    = 21 2

    Logo,

    c o t a r c s e n - 2 5 = 21 2

    Passo 3

  3. Temos que,
  4. s e c a r c t g 7 4

    Vamos primeiro analisar a função de dentro

    a r c t g x = y   ↔ tg ⁡ y = x

    Assim,

    s e n x cos ⁡ x = 7 4

    O domínio de a r c t g é limitado ao 1° e ao 4° quadrantes porque - π 2 ≤ y ≤ π 2 . Como os valores são positivos, o triângulo deve estar no 1° quadrante, como mostra a figura abaixo.

    Com isso, para encontrar o valor de s e c ⁡ ( x ) temos que calcular a hipotenusa (pelo teorema de Pitágoras) e dividir pelo lado adjacente, isto é,

    sec ⁡ x = x 2 4 = 7 2 + 4 2 4 = 49 + 16 4 = 65 4

    Logo,

    s e c a r c t g 7 4 = 65 4

    Só falta a resolução de mais um item, vamos lá!!

    Passo 4

  5. Temos que,

csc ⁡ a r c c o s 1 5

Sabemos que

a r c c o s x = y   ↔ c o s ( y ) = x

Para o valor de c o s x = 1 5 . O domínio de a r c c o s é limitado ao 1° e ao 2° quadrantes porque - π ≤ y ≤ π . Como os valores são positivos, o triângulo deve estar no 1° quadrante, como mostra a figura abaixo.

Com isso, para encontrar o valor de c s c ⁡ ( x ) (lê-se: cossecante), temos que dividir o lado oposto (calcular pelo teorema de Pitágoras) pela hipotenusa, isto é,

csc ⁡ x = x 2 5 = 5 2 - 1 2 5 = 25 - 1 5 = 24 5

Logo,

csc ⁡ a r c c o s 1 5 = 24 5

Até a próxima =]

Resposta

a 21 2

b   65 4

c   24 5