Determine o valor exato da expressão, quando for definido.

  1. a r c s e n s e n 2 π 3
  2. a r c c o s c o s 4 π 3
  3. a r c t g t g 7 π 6

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com funções trigonométricas inversas e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão de suas propriedades e relembrar a tabela de ângulos notáveis.

— 1° Propriedade (Definição 8.1 e 8.2)

A função inversa do seno, denotada por “ a r c s e n ”, define-se como

y = a r c s e n x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = s e n ( y )

Para - 1 ≤ x ≤ 1 e, - π 2 ≤ y ≤ π 2 . Em outras palavras,

i   s e n a r c s e n x = x ;             s e - 1 ≤ x ≤ 1

i i   a r c s e n s e n x = x ;             s e - π 2 ≤ x ≤ π 2

— 2° Propriedade (Definição 8.3 e 8.4)

A função inversa do cosseno, denotada por “ a r c c o s ”, define-se como

y = a r c c o s x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = c o s ( y )

Para - 1 ≤ x ≤ 1 e, - π ≤ y ≤ π . Em outras palavras,

i   c o s a r c c o s x = x ;                     s e - 1 ≤ x ≤ 1                                                                          

i i   a r c c o s c o s x = x ;                 s e   0 ≤ x ≤ π                                                                                  

— 3° Propriedade (Definição 8.5 e 8.6)

A função inversa da tangente, ou função arco tangente, denotada por “ a r c t g ”, define-se como

y = a r c t g x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = t g ( y )

Para todo x e - π 2 ≤ y ≤ π 2 . Em outras palavras,

i   t g a r c t g x = x ;                   p a r a   t o d o   x                                                                                                

i i   a r c t g t g x = x ;                 s e - π 2 ≤ x ≤ π 2                                                                                  

— 4° Propriedade (Definição 8.7)

A função arco secante denotada por “ a r c s e c ” (ou “ s e c - 1 ”), define-se como

y = a r c s e c x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = s e c ( y )

Para todo x ≥ 1 e y em 0 , π 2 ou em π , 3 π 2 .

Observe que estas funções estão limitadas a diferentes intervalos, logo valores que não pertencem a estes intervalos respeitam as propriedades de arcos côngruos e a paridade das funções.

Em seguida, temos a tabela de ângulos notáveis como conhecemos no ensino médio.

Passo 2

Compreendendo as propriedades das funções trigonométricas inversas, vamos resolver a questão.

  1. Segundo a 1° propriedade,
  2. a r c s e n s e n x

    Logo,

    a r c s e n s e n 2 π 3

    O valor 2 π 3 corresponde a π 3 no primeiro quadrante, logo

    a r c s e n s e n π 3

    Logo,

    a r c s e n s e n 2 π 3 = π 3

    Passo 3

  3. Segundo a 2° propriedade,
  4. a r c c o s c o s x

    Temos que,

    a r c c o s c o s 4 π 3

    Segundo a trigonometria cos ⁡ ∅ + π = - c o s ⁡ ( ∅ )

    a r c c o s c o s π 3 + π

    a r c c o s c o s - π 3

    a r c c o s - 1 2

    Lembre-se que a função arccoseno tem restrição de - π ≤ x ≤ π , logo o ângulo no 2° quadrante que corresponde a - 1 2 é aproximadamente

    a r c c o s - 1 2 = 2 π 3

    Só falta a resolução de mais um item, vamos lá!!

    Passo 4

  5. Segundo a 3° propriedade,

a r c t g t g x

Temos que,

a r c t g t g 7 π 6

Segundo a trigonometria tg ⁡ ∅ + π = t g ⁡ ( ∅ ) se 0 ≤ ∅ ≤ π 2 , logo

a r c t g t g π 6 + π

a r c t g t g π 6

Logo,

a r c t g t g 7 π 6 = π 6

Até a próxima =]

Resposta

a π 3

b   2 π 3

c   π 6