Determine o valor exato da expressão, quando for definido.
Passo 1
Olááá, tudo bem??
Nessa questão vamos trabalhar com funções trigonométricas inversas e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão de suas propriedades e relembrar a tabela de ângulos notáveis.
— 1° Propriedade (Definição 8.1 e 8.2)
A função inversa do seno, denotada por “”, define-se como
Para e, . Em outras palavras,
— 2° Propriedade (Definição 8.3 e 8.4)
A função inversa do cosseno, denotada por “”, define-se como
Para e, . Em outras palavras,
— 3° Propriedade (Definição 8.5 e 8.6)
A função inversa da tangente, ou função arco tangente, denotada por “”, define-se como
Para todo e . Em outras palavras,
— 4° Propriedade (Definição 8.7)
A função arco secante denotada por “” (ou “”), define-se como
Para todo e em ou em .
Observe que estas funções estão limitadas a diferentes intervalos, logo valores que não pertencem a estes intervalos respeitam as propriedades de arcos côngruos e a paridade das funções.
Em seguida, temos a tabela de ângulos notáveis como conhecemos no ensino médio.

A imagem abaixo mostra os valores dos ângulos da tabela correspondentes nos demais quadrantes.

Passo 2
Compreendendo as propriedades das funções trigonométricas inversas, vamos resolver a questão.
- Temos que,
- Temos que,
- Temos que,
Vamos resolver primeiro as funções de dentro. Sabemos que,
Dessa forma,
Também sabemos que,
Assim,
Voltando a função inicial,
O valor equivale ao valor no 1° quadrante,
Logo,
Passo 3
Vamos resolver primeiro as funções de dentro. Sabemos que,
Dessa forma, . Também sabemos que,
Logo, . Para resolver esse item, vamos utilizar a seguinte expressão
Vamos desenhar as figuras que correspondem aos valores das funções internas. Para a figura da função tangente, como , o triângulo deve estar no 2° ou 4° quadrante. Já a figura para a função seno, como , então o triângulo deve estar no 1° ou 4° quadrante.

Os valores da hipotenusa e do lado oposto, respectivamente as figuras da esquerda e direita, foram calculadas pelo Teorema de Pitágoras (). Voltando a expressão da subtração de dois ângulos, temos que
Logo,
Só falta a resolução de mais um item, vamos lá!!
Passo 4
Vamos resolver primeiro as funções de dentro. Sabemos que,
Dessa forma, . Também sabemos que,
Logo, Para resolver esse item, vamos utilizar a seguinte expressão
Vamos desenhar as figuras que correspondem aos valores das funções internas. Para a figura da função tangente, como , o triângulo deve estar no 1° ou 3° quadrante. Já a figura para a função cosseno, como , então o triângulo deve estar no 1° ou 2° quadrante.

Os valores da hipotenusa e do lado adjacente, respectivamente as figuras da esquerda e direita, foram calculadas pelo Teorema de Pitágoras (). Voltando a expressão da soma de dois ângulos, temos que
Logo,
Até a próxima =]