Determine o valor exato da expressão, quando for definido.

  1. s e n a r c s e n 1 2 + a r c c o s ⁡ ( 0 )
  2. c o s a r c t g - 3 4 - a r s e n 4 5
  3. t g a r c t g 4 3 + a r c c o s 8 17

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com funções trigonométricas inversas e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão de suas propriedades e relembrar a tabela de ângulos notáveis.

— 1° Propriedade (Definição 8.1 e 8.2)

A função inversa do seno, denotada por “ a r c s e n ”, define-se como

y = a r c s e n x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = s e n ( y )

Para - 1 ≤ x ≤ 1 e, - π 2 ≤ y ≤ π 2 . Em outras palavras,

i   s e n a r c s e n x = x ;             s e - 1 ≤ x ≤ 1

i i   a r c s e n s e n x = x ;             s e - π 2 ≤ x ≤ π 2

— 2° Propriedade (Definição 8.3 e 8.4)

A função inversa do cosseno, denotada por “ a r c c o s ”, define-se como

y = a r c c o s x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = c o s ( y )

Para - 1 ≤ x ≤ 1 e, - π ≤ y ≤ π . Em outras palavras,

i   c o s a r c c o s x = x ;                     s e - 1 ≤ x ≤ 1                                                                          

i i   a r c c o s c o s x = x ;                 s e   0 ≤ x ≤ π                                                                                  

— 3° Propriedade (Definição 8.5 e 8.6)

A função inversa da tangente, ou função arco tangente, denotada por “ a r c t g ”, define-se como

y = a r c t g x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = t g ( y )

Para todo x e - π 2 ≤ y ≤ π 2 . Em outras palavras,

i   t g a r c t g x = x ;                   p a r a   t o d o   x                                                                                                

i i   a r c t g t g x = x ;                 s e - π 2 ≤ x ≤ π 2                                                                                  

— 4° Propriedade (Definição 8.7)

A função arco secante denotada por “ a r c s e c ” (ou “ s e c - 1 ”), define-se como

y = a r c s e c x           s e   e   s o m e n t e   s e         x = s e c ( y )

Para todo x ≥ 1 e y em 0 , π 2 ou em π , 3 π 2 .

Observe que estas funções estão limitadas a diferentes intervalos, logo valores que não pertencem a estes intervalos respeitam as propriedades de arcos côngruos e a paridade das funções.

Em seguida, temos a tabela de ângulos notáveis como conhecemos no ensino médio.

A imagem abaixo mostra os valores dos ângulos da tabela correspondentes nos demais quadrantes.

Passo 2

Compreendendo as propriedades das funções trigonométricas inversas, vamos resolver a questão.

  1. Temos que,
  2. s e n a r c s e n 1 2 + a r c c o s ⁡ ( 0 )

    Vamos resolver primeiro as funções de dentro. Sabemos que,

    a r c s e n x = y   ↔ sen ⁡ y = x

    Dessa forma, s e n x = 1 2

    a r c s e n 1 2 = π 6

    Também sabemos que,

    a r c c o s x = y   ↔ cos ⁡ y = x

    Assim, c o s x = 0

    a r c c o s 0 = π 2

    Voltando a função inicial,

    s e n a r c s e n 1 2 + a r c c o s ⁡ ( 0 )

    s e n π 6 + π 2

    s e n π + 3 π 6

    s e n 4 π 6

    s e n 2 π 3

    O valor 2 π 3 equivale ao valor π 3 no 1° quadrante,

    s e n 2 π 3 = 3 2

    Logo,

    s e n a r c s e n 1 2 + a r c c o s ⁡ ( 0 ) = 3 2

    Passo 3

  3. Temos que,
  4. cos ⁡ a r c t g - 3 4 - a r s e n 4 5

    Vamos resolver primeiro as funções de dentro. Sabemos que,

    a r c t g x = y   ↔ tg ⁡ y = x

    Dessa forma, t g x = - 3 4 . Também sabemos que,

    a r c s e n x = y   ↔ sen ⁡ y = x

    Logo, s e n x = 4 5 . Para resolver esse item, vamos utilizar a seguinte expressão

    cos ⁡ α - β = cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n α s e n ( β )

    Vamos desenhar as figuras que correspondem aos valores das funções internas. Para a figura da função tangente, como t g x < 0 , o triângulo deve estar no 2° ou 4° quadrante. Já a figura para a função seno, como s e n x > 0 , então o triângulo deve estar no 1° ou 4° quadrante.

    Os valores da hipotenusa e do lado oposto, respectivamente as figuras da esquerda e direita, foram calculadas pelo Teorema de Pitágoras ( a 2 = b 2 + c 2 ). Voltando a expressão da subtração de dois ângulos, temos que

    cos ⁡ α - β = cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n α s e n ( β )

    = 4 5 × 3 5 + - 3 5 × 4 5

    = 12 25 - 12 25

    = 0

    Logo,

    cos ⁡ a r c t g - 3 4 - a r s e n 4 5 = 0

    Só falta a resolução de mais um item, vamos lá!!

    Passo 4

  5. Temos que,

t g a r c t g 4 3 + a r c c o s 8 17

Vamos resolver primeiro as funções de dentro. Sabemos que,

a r c t g x = y   ↔ tg ⁡ y = x

Dessa forma, t g x = 4 3 . Também sabemos que,

a r c c o s x = y   ↔ cos ⁡ y = x

Logo, c o s x = 8 17 Para resolver esse item, vamos utilizar a seguinte expressão

tg ⁡ α + β = tg ⁡ α + tg ⁡ β 1 - t g α t g ( β )

Vamos desenhar as figuras que correspondem aos valores das funções internas. Para a figura da função tangente, como t g x > 0 , o triângulo deve estar no 1° ou 3° quadrante. Já a figura para a função cosseno, como c o s x > 0 , então o triângulo deve estar no 1° ou 2° quadrante.

Os valores da hipotenusa e do lado adjacente, respectivamente as figuras da esquerda e direita, foram calculadas pelo Teorema de Pitágoras ( a 2 = b 2 + c 2 ). Voltando a expressão da soma de dois ângulos, temos que

tg ⁡ α + β = tg ⁡ α + tg ⁡ β 1 - t g α t g ( β )

= 3 4 + 8 15 1 - 3 4 × 8 15

= 45 + 32 60 1 - 24 60

= 77 60 × 1 1 - 24 60

= 77 60 × 60 60 - 24

= 77 60 × 60 36

= 77 36

Logo,

t g a r c t g 4 3 + a r c c o s 8 17 = 77 36

Até a próxima =]

Resposta

a 3 2

b   0

c 77 36