Determine os valores de a, b e d para que o plano a x   +   b y   +   3 z   =   d seja

a) paralelo ao plano 2 x   +   y   -   5 z   =   4 ;

b) represente o mesmo plano que 2 x   +   y   -   5 z   =   4 .

Passo 1

Para dois planos serem paralelos, seus vetores normais devem ser múltiplos escalares e não pode haver interseção entre os planos:

Lembrando que um vetor normal pode ser obtido pelos termos que acompanham as variáveis na equação do plano, ou seja, um vetor normal de a x   +   b y   +   3 z   =   d é u = ( a , b , 3 )   e de 2 x   +   y   -   5 z   =   4 é v = ( 2,1 , - 5 ) .

Então, sendo k um número real qualquer, para serem múltiplos escalares temos que:

( a , b , 3 ) = k ( 2,1 , - 5 )

( a , b , 3 ) = ( 2 k , k , - 5 k )

a = 2 k ;   b = k ;   3 = - 5 k

k = - 3 5 ;   a = - 6 5 ;   b = - 3 5

Então temos que : a x   +   b y   +   3 z   =   d   ⇒ - 6 5 x - 3 5 y + 3 z = d  

Passo 2

Agora vamos garantir que não haja interseção entre os planos:

- 6 5 x - 3 5 y + 3 z = d ⇒ - 6 x - 3 y + 15 z = 5 d

2 x   +   y   -   5 z   =   4 ⇒ 6 x + 3 y - 15 z = 12

Somando as equações - 6 x - 3 y + 15 z = 5 d e 6 x + 3 y - 15 z = 12 temos:

0 = 5 d + 12

- 12 5 = d

Assim, para - 12 5 = d teríamos uma interseção entre os planos, logo eles seriam coincidentes.

Para garantir o paralelismo temos que:

a = - 6 5 ;   b = - 3 5   e   d ≠ - 12 5

Passo 3

Para dois planos serem coincidentes, representarem o mesmo plano, temos que seus vetores normais devem ser múltiplos escalares e deve haver interseção entre os planos:

As condições para que os vetores sejam múltiplos escalares já foi determinada anteriormente:

k = - 3 5 ;   a = - 6 5 ;   b = - 3 5

Agora vamos garantir que haja interseção entre os planos:

- 6 5 x - 3 5 y + 3 z = d ⇒ - 6 x - 3 y + 15 z = 5 d

2 x   +   y   -   5 z   =   4 ⇒ 6 x + 3 y - 15 z = 12

Somando as equações - 6 x - 3 y + 15 z = 5 d e 6 x + 3 y - 15 z = 12 temos:

0 = 5 d + 12

- 12 5 = d

Assim, para - 12 5 = d teríamos uma interseção entre os planos, logo eles seriam coincidentes.

Para garantir a coincidência temos que:

a = - 6 5 ;   b = - 3 5   e   d = - 12 5

Resposta

a) a = - 6 5 ;   b = - 3 5   e   d ≠ - 12 5

b) a = - 6 5 ;   b = - 3 5   e   d = - 12 5