Determine os valores de a e b para que as retas
e
sejam:
a) paralelas;
b) concorrentes;
c) reversas.
Passo 1
Vamos determinar os vetores diretores e das retas , respectivamente!
Relembrando que o vetor diretor da reta tem como coordenadas justamente os termos que acompanham o parâmetro nas equações paramétricas.
Ou seja, para a reta temos que as coordenadas no vetor diretor serão e para a reta será .
Passo 2
a) Para duas retas serem paralelas, temos que os vetores são múltiplos escalares, ou seja, para algum número real e que não haja nenhuma interseção.
Para , temos que:
Agora vamos encontrar as possíveis interseções igualando as equações
de uma reta com a outra:
Substituindo :
O que é um absurdo! Logo, as retas não possuem interseção para qualquer valor real de .
Então, elas são paralelas para sendo qualquer número real.
Passo 3
b) Para duas retas serem concorrentes, temos que ter uma interseção e os vetores devem possuir direções diferentes:
Começaremos encontrando a primeira condição (ter uma interseção):
Agora vamos encontrar as possíveis interseções igualando as equações
de uma reta com a outra:
Pela equação temos que o sistema é impossível, ou seja não existem valores de reais que tornam essas igualdades verdadeiras. Assim, não existe interseção tornando impossível essas retas serem concorrentes para qualquer valor de .
c) Duas retas são reversas se os vetores possuem direções diferentes e não haja nenhum interseção:
Como vimos no item b), as retas não possuem interseção! Então, só falta garantirmos que
Para que vimos no item a) que pode assumir qualquer valor. Assim, basta que para que .