Determine os valores de a e b para que as retas

x   = 1   +   a t x = 2 + t

r   :   y   = 2   +   b t e s :   y = 1 + b t

z   = - 1   +   2 t z = - 1 + 2 t

sejam:

a) paralelas;

b) concorrentes;

c) reversas.

Passo 1

Vamos determinar os vetores diretores u e v das retas r   e   s , respectivamente!

Relembrando que o vetor diretor da reta tem como coordenadas justamente os termos que acompanham o parâmetro t nas equações paramétricas.

Ou seja, para a reta r temos que as coordenadas no vetor diretor serão u = ( a , b , 2 ) e para a reta s será v = ( 1 , b , 2 ) .

Passo 2

a) Para duas retas serem paralelas, temos que os vetores são múltiplos escalares, ou seja, u = k v para algum número k real e que não haja nenhuma interseção.

Para u = k v , temos que:

( a , b , 2 ) = k ( 1 , b , 2 )

( a , b , 2 ) = ( k , k b , 2 k )

k = a ;   b = k b   ⇒   k = 1 ;   2 = 2 k

E n t ã o ,   k = a = 1

Agora vamos encontrar as possíveis interseções igualando as equações x , y , z

de uma reta com a outra:

x   = 1   +   a t = 2 + t

Substituindo a = 1 :

x   = 1   +   t = 2 + t

1 = 2

O que é um absurdo! Logo, as retas não possuem interseção para qualquer valor real de b .

Então, elas são paralelas para a = 1   e   b   sendo qualquer número real.

Passo 3

b) Para duas retas serem concorrentes, temos que ter uma interseção e os vetores u   e   v devem possuir direções diferentes:

Começaremos encontrando a primeira condição (ter uma interseção):

Agora vamos encontrar as possíveis interseções igualando as equações x , y , z

de uma reta com a outra:

x   = 1   +   a t = 2 + t ⇒ ( a - 1 ) t = 1

y   = 2   +   b t = 1 + b t ⇒ 2 = 1       ( 1 )

z   = - 1   +   2 t = - 1 + 2 t ⇒ 0 = 0

Pela equação ( 1 ) temos que o sistema é impossível, ou seja não existem valores de t reais que tornam essas igualdades verdadeiras. Assim, não existe interseção tornando impossível essas retas serem concorrentes para qualquer valor de a   e   b .

c) Duas retas são reversas se os vetores u   e   v   possuem direções diferentes e não haja nenhum interseção:

Como vimos no item b), as retas não possuem interseção! Então, só falta garantirmos que u ≠ k v

Para que u = k v vimos no item a) que a = 1   e   b pode assumir qualquer valor. Assim, basta que a ≠ 1 para que u ≠ k v .

Resposta

a ) a = 1   e   b   ϵ   R

b ) I m p o s s í v e l .

c ) a ≠ 1   e   b   ϵ   R