Determine os valores de m para que o sistema 2 x + 8 y + 2 z = 3 4 x + m 2 y + m z = 6 possua:

a) uma única variável livre.

b) duas variáveis livres.

Passo 1

E aí, gente, bora pra mais um??!!

O número de variáveis livres de um sistema é dado por:

t o t a l   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a - ( p o s t o   d a   m a t r i z   a m p l i a d a   d o   s i s t e m a )

Onde o posto de uma matriz diz respeito ao total de linhas não nulas da matriz na forma escalonada.

Passo 2

A matriz ampliada do sistema é dada por:

2 8 2 | 3 4 m 2 m | 6

Escalonando-a obtemos o seguinte:

2 8 2 | 3 0 m 2 - 16 m - 4 | 0

Tendo essas informações, vamos aos itens!!!

Passo 3

a) Como o sistema possui um total de 3 variáveis, para que tenhamos uma única variável livre, a matriz ampliada deve ter posto igual 2, ou seja, as duas linhas da matriz devem ser não nulas. Como o único valor de m que zera a última linha é m = 4 , qualquer valor de m ≠ 4 faz com que o sistema possua uma única variável livre.

b) Pelo que vimos no item acima, fazendo m = 4 , zeramos a segunda linha da matriz, e assim o posto da matriz fica igual a 1, de modo que total de variáveis livres do sistema fica igual a 3 - 1 = 2 .

Resposta

a) m ≠ 4 .

b) m = 4 .