Determine os valores de a tais que o sistema linear abaixo tenha solução

x - y = a x + y + z = a 2 x + z = a

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais um!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:

1 - 1 0 | a 1 1 1 | a 2 0 1 | a

Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:

1 - 1 0 | a 0 2 1 | 0 0 0 0 | - a

Se a ≠ 0 a última equação do sistema será degenera e assim o sistema não possuirá solução. Portanto, o único valor de a para o qual o sistema possui solução é a = 0 .

Resposta

a = 0 .