Determine se é Verdadeira ou Falsa:

a. se as colunas de A são L D s , então d e t ( A )   =   0 ;

b. se d e t ( A )   =   0 , então duas linhas ou colunas são iguais ou então uma linha ou coluna tem somente zeros;

c. se B   é obtida de A trocando duas linhas de A entre si, d e t ( B )   =   d e t ( A ) ;

d. se as linhas de A são L I s , então d e t ( A )   >   0 .

Passo 1

Ei aí, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão?

Letra a)

A afirmativa está correta, pois dizer que as colunas são   L D s , equivale a dizer que os vetores são paralelos (mesma direção) ou colineares (estão na mesma reta). Assim, quanto são L D s , os vetores estão em um mesmo plano, sendo um segmento de reta ou um ponto, ou seja, possuem área zero. Isso também ocorre no R 3 , o volume será zero nesse caso. Logo, d e t ( A ) = 0 .

Passo 2

Letra b)

A afirmativa é falsa. O correto seria:

b. se d e t ( A )   =   0 , então duas linhas ou colunas são iguais ou então uma linha ou coluna é múltipla da outra;

Observe as matrizes A e B . Em que A possui duas linhas iguais e B possui a segunda coluna múltipla da primeira.

A = a 11   a 12   a 11   a 12  

B = b 11   n b 11   b 21   n b 21  

Calculando o determinante de A , temos:

d e t d e t   A   = a 11 a 12 - a 11 a 12

d e t d e t   A   = 0

Calculando o determinante de   B , temos:

d e t d e t   B   = b 11 n b 21 - b 21 n b 11

d e t ( B ) = n ( b 11 b 21 - b 11 b 21 )

d e t ( B ) = n ∙ 0

d e t ( B ) = 0

c. A afirmativa é falsa. Considere a matriz A abaixo.

A = a 11   a 12   a 21   a 22  

d e t d e t   A   = a 11 a 22 - a 21 a 12

Se B é troca das duas linear de A teremos:

A = a 21   a 22   a 11   a 12  

d e t d e t   B   = a 21 a 12 - a 11 a 22

d e t d e t   B   = - a 11 a 22 + a 21 a 12

d e t d e t   B   = - ( a 11 a 22 - a 21 a 12 )

d e t d e t   B   = - d e t ⁡ ( A )

d. A afirmativa é falsa, pois também pode ser d e t ( A )   < 0 .

As linhas serão LI se, e somente se, o determinante da matriz não é nulo. Logo, a afirmativa é falsa, pois também pode ser negativo.

Por exemplo, { 1,2 ,   5,0 } é LI, pois seu determinante é - 10 .

Questão finalizada! : )

Resposta

  1. V
  2. F
  3. F
  4. F