Determine se Verdadeiro ou Falso. Se T   :   R 6   → 6   6 possui:

(a) 6 autovalores distintos, então T é diagonalizável.

(b) 2 autovalores distintos, então T não é diagonalizável.

(c) 4 autovalores distintos, todos autoespaços com dimensão 1, então T não é diagonalizável.

Passo 1

O primeiro passo é entender o comandando da questão, aqui nós temos uma transformação linear T de dimensão 6, variando os autovalores, podemos afirmar que:

  1. No item A, se há 6 autovalores e todos são diferentes, é possível afirmar que T é diagonalizável?? Simm, até porque se você lembrar lá da condição que faz uma matriz ser diagonalizável a matriz é diagonalizável, tem que existir uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P - 1 . Sendo assim, temos que D vai ser justamente a matriz diagonal composta dos autovalores!
  2. Passo 2

  3. Seguindo o raciocínio da letra A, então... se temos apenas 2 autovalores distintos, T NÃO é diagonalizável, certo? Nunca never a gente pode afirmar isso!
  4. Isso mesmo que você leu, a gente não pode afirmar isso, sabe por quê? Basta lembrar da matriz identidade, a gente sabe que ela tem autovalores repetidos e também é diagonalizável, ou seja, é falsa essa afirmativa!

    Passo 3

  5. Aqui no item C, a gente tem uma pegadinha, assim como na letra B, temos apenas 4 autovalores, ou seja, menor que a dimensão 6, isso significa que a matriz é diagonalizável? Nãooo.

O detalhe é que aqui nós temos autoespaço com dimensão 1, portanto, se 4

Resposta

a) verdadeiro ; b) falsa ; c) verdadeira