Determine se é verdadeiro ou falso. Um sistema:

a) tem infinitas soluções se durante o escalonamento uma linha ficar zerada;

b) homogêneo sempre possui solução;

c) não-homogêneo não pode possuir infinitas soluções;

d) com 5 equações e 3 variáveis é sempre sem solução;

e) com 3 equações e 5 variáveis possui infinitas soluções;

f) homogêneo com 3 equações e 5 variáveis possui infinitas soluções;

g) homogêneo com 5 equações 9 variáveis possui pelo menos 4 variáveis livres;

h) homogêneo com 9 equações e 9 variáveis possui sempre solução única;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!

Sejam A a matriz de coeficientes e B a matriz estendida referente a um determinado sistema linear. Lembrando que a definição de posto de uma matriz diz respeito ao total de linhas não nulas dessa matriz na forma escalonada, temos que o número de soluções do sistema é definido da seguinte maneira:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema não possui nenhuma solução, pois teremos uma equação degenerada (equação da forma 0 x + 0 y + 0 z = 1 ). No caso de um sistema homogêneo sempre temos p o s t o A = p o s t o ( B ) , pois a coluna extra que a matriz B tem em relação a matriz A é composta apenas por zeros, e continuará sendo nula após todas as operações feitas sobre a matriz original até chegar na matriz escalonada.

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a ) o sistema possuirá uma única solução, pois ele não possuirá variáveis livres (o número de variáveis livres do sistema é definido como n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a - p o s t o ( A ) ).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a ) o sistema possuirá infinitas soluções, pois ele possuirá pelo menos uma variável livre.

Após esse embasamento teórico, vamos verificar a veracidade dos itens.

Passo 2

a) Com a afirmação que a matriz B possui uma linha zerada nada podemos saber sobre seu posto ou sobre o posto de A , de modo que nada podemos concluir. Sendo assim, essa afirmação é FALSA.

b) Como vimos em (1), um sistema homogêneo sempre tem p o s t o A = p o s t o ( B ) , o que nos garante que o sistema possui pelo menos uma solução. Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.

c) Pelo que vimos em (1), (2) e (3) do Passo 1, nada impede que um sistema não-homogêneo possua infinitas soluções. Logo, essa afirmação é FALSA.

d) Com a hipótese que é dada não podemos garantir que p o s t o A < p o s t o ( B ) , ou seja, não podemos afirmar que o sistema não possua solução. Portanto, essa afirmação é FALSA.

e) Com a hipótese que é dada não podemos garantir que p o s t o A = p o s t o ( B ) , ou seja, não podemos afirmar que o sistema possua solução. Portanto, essa afirmação é FALSA.

f) Como o sistema é homogêneo temos que p o s t o A = p o s t o ( B ) , além disso como o sistema possui apenas 3 equações temos que p o s t o A ≤ 3 < 5 = ( n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a ) , sendo assim, pelo item 3 do Passo 1 podemos concluir que o sistema possui infinitas soluções. Logo, a afirmação é VERDADEIRA.

g) Como o sistema possui 5 equações temos que p o s t o A ≤ 5 , de modo que n º   d e   v a r i á v e i s   l i v r e s = n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a - p o s t o A ≥ 9 - 5 = 4 . Logo, a afirmação é VERDADEIRA.

h) O fato de termos 9 equações não garante que teremos p o s t o A = 9 , ou seja, não garante que o sistema possuirá solução única. Portanto, essa afirmação é FALSA.

Resposta

a) Falsa.

b) Verdadeira.

c) Falsa.

d) Falsa.

e) Falsa.

f) Verdadeira.

g) Verdadeira.

h) Falsa.