Determine se é verdadeiro ou falso. Um sistema:
a) tem infinitas soluções se durante o escalonamento uma linha ficar zerada;
b) homogêneo sempre possui solução;
c) não-homogêneo não pode possuir infinitas soluções;
d) com 5 equações e 3 variáveis é sempre sem solução;
e) com 3 equações e 5 variáveis possui infinitas soluções;
f) homogêneo com 3 equações e 5 variáveis possui infinitas soluções;
g) homogêneo com 5 equações 9 variáveis possui pelo menos 4 variáveis livres;
h) homogêneo com 9 equações e 9 variáveis possui sempre solução única;
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!
Sejam a matriz de coeficientes e a matriz estendida referente a um determinado sistema linear. Lembrando que a definição de posto de uma matriz diz respeito ao total de linhas não nulas dessa matriz na forma escalonada, temos que o número de soluções do sistema é definido da seguinte maneira:
1- Se o sistema não possui nenhuma solução, pois teremos uma equação degenerada (equação da forma ). No caso de um sistema homogêneo sempre temos , pois a coluna extra que a matriz tem em relação a matriz é composta apenas por zeros, e continuará sendo nula após todas as operações feitas sobre a matriz original até chegar na matriz escalonada.
2- Se e o sistema possuirá uma única solução, pois ele não possuirá variáveis livres (o número de variáveis livres do sistema é definido como ).
3- Se e o sistema possuirá infinitas soluções, pois ele possuirá pelo menos uma variável livre.
Após esse embasamento teórico, vamos verificar a veracidade dos itens.
Passo 2
a) Com a afirmação que a matriz possui uma linha zerada nada podemos saber sobre seu posto ou sobre o posto de , de modo que nada podemos concluir. Sendo assim, essa afirmação é FALSA.
b) Como vimos em (1), um sistema homogêneo sempre tem , o que nos garante que o sistema possui pelo menos uma solução. Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.
c) Pelo que vimos em (1), (2) e (3) do Passo 1, nada impede que um sistema não-homogêneo possua infinitas soluções. Logo, essa afirmação é FALSA.
d) Com a hipótese que é dada não podemos garantir que , ou seja, não podemos afirmar que o sistema não possua solução. Portanto, essa afirmação é FALSA.
e) Com a hipótese que é dada não podemos garantir que , ou seja, não podemos afirmar que o sistema possua solução. Portanto, essa afirmação é FALSA.
f) Como o sistema é homogêneo temos que , além disso como o sistema possui apenas 3 equações temos que , sendo assim, pelo item 3 do Passo 1 podemos concluir que o sistema possui infinitas soluções. Logo, a afirmação é VERDADEIRA.
g) Como o sistema possui 5 equações temos que , de modo que . Logo, a afirmação é VERDADEIRA.
h) O fato de termos 9 equações não garante que teremos , ou seja, não garante que o sistema possuirá solução única. Portanto, essa afirmação é FALSA.
Resposta
a) Falsa.
b) Verdadeira.
c) Falsa.
d) Falsa.
e) Falsa.
f) Verdadeira.
g) Verdadeira.
h) Falsa.