Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola. Esboce o gráfico, exibindo o foco e a diretriz.

x 2 = - 3 y  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo? Bora fazer mais um exercício de geometria analítica?

Para resolver este problema vamos utilizar o formato mais geral de uma parábola dado por:

( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) ,           ( 1 )

ou

y   =   a x 2 + b x + c ,           ( 2 )

em que

p   =   1 4 a .           ( 3 )

Temos que h e k são as coordenadas do vértice e que | p | é a distância do vértice ao foco, que é igual à distância do vértice à diretriz da parábola. Com isso temos tudo que precisamos para resolver a questão, belezinha?

Passo 2

Comparando nosso enunciado com a equação 2, temos que b = 0 , c = 0 e que a   =   - 1 / 3 . portanto p   =   - 3 / 4 . Com essa informação, podemos agora buscar mais informações sobre nosso vértice. O vértice é o ponto onde temos uma tangente horizontal, ou seja

d y d x = 0 →   d y d x = d d x ( - 1 3 x 2 ) = - 2 3 x

Portanto, temos que nosso vértice está no ponto V = ( 0 , - 1 3 x 2 ) = ( 0,0 ) . Temos também que o foco está à uma distância p = - 3 / 4 do vértice, ou seja, F   =   ( 0 , - 3 / 4 ) , e por último, a diretriz é a reta horizontal estabelecida por x =   - p = 3 / 4 . O esboço do gráfico é tal que:

A questão é isso! Bora para a próxima?

Resposta

Ao longo do passo 2.