Determine o vértice e o foco da parábola. Esboce o gráfico, exibindo o foco.

4 x 2 + 40 x + y + 106   = 0  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo? Bora fazer mais um exercício de geometria analítica?

Para resolver este problema vamos utilizar o formato mais geral de uma parábola dado por:

( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) ,           ( 1 )

ou

y   =   a x 2 + b x + c ,           ( 2 )

em que

p   =   1 4 a .           ( 3 )

Temos que h e k são as coordenadas do vértice e que | p | é a distância do vértice ao foco, que é igual à distância do vértice à diretriz da parábola. Com isso temos tudo que precisamos para resolver a questão, belezinha?

Passo 2

Comparando nosso enunciado com a equação 2, temos que b = - 40 , c = - 106 e que a   =   - 4 . portanto p   = -   1 / 16 . Com essa informação, podemos agora buscar mais informações sobre nosso vértice. O vértice é o ponto onde temos uma tangente horizontal, ou seja

d y d x = 0 →   d y d x = d d x ( - 4 x 2 - 40 x - 106 ) = - 8 x - 40 → x =   - 5

Portanto, temos que nosso vértice está no ponto V = ( - 5 , y   = - 4 x 2 - 40 x - 106 ) = ( - 5 , - 6 ) . Temos também que o foco está à uma distância p = - 1 / 16 do vértice, ou seja, F   =   ( - 5 , - 97 / 16 ) . O esboço do gráfico é tal que:

Vamos dar um zoom apenas para visualizar um pouco melhor

A questão é isso! Bora para a próxima?

Resposta

Ao longo do passo 2.