Determine o vértice e o foco da parábola. Esboce o gráfico, exibindo o foco.

y 2 - 4 y - 2 x - 4   = 0  

Passo 1

Oiii, tudo bem? Vamos fazer uma questãozinha de geometria analítica?

Temos que para resolver esta questão é interessante utilizar a expressão geral de uma parábola como:

( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) ,           ( 1 )

ou

x   =   a y 2 + b y + c ,           ( 2 )

em que

p   =   1 4 a .           ( 3 )

Com isso temos tudo o que precisamos para encontrar as variáveis pedidas, bora lá!

Passo 2

Comparando nosso enunciado com a equação 2, temos que b = - 2 , c = - 2 e que a   =   1 / 2 . portanto p   =   1 / 2 . Com essa informação, podemos agora buscar mais informações sobre nosso vértice. O vértice é o ponto onde temos uma tangente horizontal, ou seja

d x d y = 0 →   d x d y = d d y ( 1 2 y 2 - 2 y - 2 ) = y - 2 → y   =   2

Portanto, temos que nosso vértice está no ponto V = ( x   =   1 2 y 2 - 2 y - 2,2 ) = ( - 4,2 ) . Temos também que o foco está à uma distância p = 1 / 2 do vértice, ou seja, F   =   ( - 7 / 2,2 ) . O esboço do gráfico é tal que:

A questão é isso! Bora para a próxima?

Resposta

Ao longo do passo 2.