Determine o vértice e o foco da parábola. Esboce o gráfico, exibindo o foco.

y 2 + 14 y + 4 x + 45   = 0  

Passo 1

Oiii, tudo bem? Vamos fazer uma questãozinha de geometria analítica?

Temos que para resolver esta questão é interessante utilizar a expressão geral de uma parábola como:

( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) ,           ( 1 )

ou

x   =   a y 2 + b y + c ,           ( 2 )

em que

p   =   1 4 a .           ( 3 )

Com isso temos tudo o que precisamos para encontrar as variáveis pedidas, bora lá!

Passo 2

Comparando nosso enunciado com a equação 2, temos que b = - 14 / 4 = - 7 / 2 , c = - 45 / 4 e que a   =   - 1 / 4 . portanto p   = -   1 . Com essa informação, podemos agora buscar mais informações sobre nosso vértice. O vértice é o ponto onde temos uma tangente horizontal, ou seja

d x d y = 0 →   d x d y = d d y ( - 1 4 y 2 - 7 2 y - 45 4 ) = - 1 2 y - 7 2 → y   =   - 7

Portanto, temos que nosso vértice está no ponto V = ( x   =   - 1 4 y 2 - 7 2 y - 45 4 , - 7 ) = ( 1 , - 7 ) . Temos também que o foco está à uma distância p = - 1 do vértice, ou seja, F   =   ( 0 , - 7 ) . O esboço do gráfico é tal que:

A questão é isso! Bora para a próxima?

Resposta

Ao longo do passo 2.