Determine k para que os vetores u → = ( 1,2 , k ) , v →   = ( 0,1 ,   k + 1 ) e w →   = ( 3,4 , 3 ) sejam l.d.. Para esse valor de k , escreva v → como combinação linear de u → e w → .

Passo 1

Vamos começar escrevendo v → como combinação linear de u → e w → :

v →   =   α u → + β w →   ⇒ ( 0,1 ,   k + 1 )   = α ( 1,2 , k ) + β ( 3,4 , 3 )    

Geramos o seguinte sistema:

0   =   α   +   3 β   ⇒   α   =   - 3 β

1   =   2 α   +   4 β

  k + 1   = α k + 3 β

Substituindo o resultado da primeira relação na segunda, descobriremos o valor de   β :

1   =   2   ⋅ ( - 3 β )   +   4 β     ⇒   1   =   - 2 β   ⇒   β   =   - 1 2

Por fim, basta substituir esses dois valores β   =   - 1 2 e α   =   3 2 na terceira relação:

  k + 1   = 3 2 k - 3 2   ⇒   k   -   3 2 k   =   - 3 2   - 1   ⇒   - 1 2 k   =   - 5 2   ⇒   k   =   5

Daí, u → = ( 1,2 , 5 ) e

v →   = α ( 1,2 , k ) + β ( 3,4 , 3 )   =   3 2 ( 1,2 , 5 )   - 1 2 ( 3,4 , 3 )   = 3 2 u →   - 1 2 w →        

Resposta

k   =   5 e v →   = 3 2 u → - 1 2 w →