Determine:

a) a distância do ponto   ( 5 ,   4 ,   - 7 ) à reta

x   = 1 + 5 t

s :   y   =   2   - t

z   =   t

b) a distância do ponto   ( 2 ,   3 ,   5 ) a cada um dos eixos do sistema de coordenadas.

Passo 1

Vamos começar relembrando como se calcula a distância de ponto à reta:

Temos que conhecer um vetor diretor v da reta, um ponto Q qualquer que pertença à reta e o nosso ponto P (o ponto cuja distância iremos calcular).

Assim, a distância será D = | | Q P   → × v | | | | v | |

Passo 2

a)Conhecendo o ponto   P ( 5 ,   4 ,   - 7 ) e a equação da reta s :

x   = 1 + 5 t

s :   y   =   2   - t

z   =   t

O vetor diretor pode ser obtido pelos termos que acompanham o parâmetro t . Assim, v = ( 5 , - 1,1 ) .

Para t = 0 , temos que x = 1 ,   y = 2 ,   z = 0 . Então, podemos chamar de ponto Q   o ponto ( 1,2 , 0 ) já que vimos que ele pertence à reta.

Então | | Q P   → × v | | = | | ( 5 - 1,4 - 2 , - 7 - 0 ) × ( 5 , - 1,1 ) | | = | | ( 4,2 , - 7 ) × ( 5 , - 1,1 ) | |

D = | | Q P   → × v | | | | v | | = 1742 5 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 1742 27 = 5226 9

Assim, encontramos a distância D = 5226 9 ≃ 8,03 .

Passo 3

b) Tendo o ponto   ( 2 ,   3 ,   5 ) como ponto P e equação dos eixos de coordenadas sendo :

Eixo x: x = t ;   y = 0 + 0 t ;   z = 0 + 0 t

Então o vetor diretor será v = ( 1,0 , 0 )     e podemos considerar o ponto Q ( 0,0 , 0 ) .

Então | | Q P   → × v | | = | | ( 2 - 0,3 - 0,5 - 0 ) × ( 1,0 , 0 ) | | = | | ( 2,3 , 5 ) × ( 1,0 , 0 ) | |

D = | | Q P   → × v | | | | v | | = 34 1 2 + 0 2 + 0 2 = 34 1 = 34 ≃ 5,83

Eixo y: x = 0 + 0 t ;   y = t ;   z = 0 + 0 t

Então o vetor diretor será v = ( 0,1 , 0 )     e podemos considerar o ponto Q ( 0,0 , 0 ) .

Então | | Q P   → × v | | = | | ( 2 - 0,3 - 0,5 - 0 ) × ( 0,1 , 0 ) | | = | | ( 2,3 , 5 ) × ( 0,1 , 0 ) | |

D = | | Q P   → × v | | | | v | | = 29 0 2 + 1 2 + 0 2 = 29 1 = 29 ≃ 5,38

Eixo z: x = 0 + 0 t ;   y = 0 + 0 t ;   z = t

Então o vetor diretor será v = ( 0,0 , 1 )     e podemos considerar o ponto Q ( 0,0 , 0 ) .

Então | | Q P   → × v | | = | | ( 2 - 0,3 - 0,5 - 0 ) × ( 0,1 , 0 ) | | = | | ( 2,3 , 5 ) × ( 0,0 , 1 ) | |

D = | | Q P   → × v | | | | v | | = 13 0 2 + 0 2 + 1 2 = 13 1 = 13 ≃ 3,60

Resposta

a ) 8,03   a p r o x i m a d a m e n t e  

b )   5,83 ;   5,38 ;   3,60   a p r o x i m a d a m e n t e   e m   r e l a ç ã o   a o s   e i x o s   x ; y ; z   r e s p e c t i v a m e n t e .