Determine:
a) Parametrização e equações cartesianas para a reta que passa por e .
b) intersecção de (item (a)) com os pontos tais que .
c) intersecção de (item(a)) com os pontos tais que .
d) intersecção de (item(a)) com os pontos tais que .
Passo 1
a) A parametrização de é dada por , .
Agora, para a equação cartesiana, consideramos que as coordenadas da reta seja . Assim, temos:
Pela última equação temos que , ou seja . Fazendo essa substituição na primeira equação ficamos com e na segunda com . Portanto a equação cartesiana da reta é dada pelo seguinte sistema:
Passo 2
b) A intersecção da reta com os pontos dados são as soluções do sistema abaixo:
A matriz estendida desse sistema é dada por:
Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:
Como a última equação do sistema não possui solução, segue que o sistema como um todo não possui solução. Logo, a reta não se intercepta com os pontos dados.
c) A intersecção da reta com os pontos dados são as soluções do sistema abaixo:
A matriz estendida desse sistema é dada por:
Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:
Portanto, a solução do sistema, e, consequentemente, a intersecção da reta com os pontos dados, é o ponto .
d) A interseção da reta com os pontos dados são as soluções do sistema abaixo:
A matriz estendida desse sistema é dada por:
Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:
Portanto, a solução do sistema, e, consequentemente, a intersecção da reta com os pontos dados, é dada por .
Resposta
a) Equação paramétrica:
, .
Equação cartesiana:
b) A reta não se intercepta com esses pontos.
c) .
d) .