Determine:

a) Parametrização e equações cartesianas para a reta r ⊂ R 6 que passa por ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) e ( 2 ,   0   , 0   , 0   , 0 ,   2 ) .

b) intersecção de r (item (a)) com os pontos x ,   y ,   z ,   a ,   b ,   c ∈ R 6 tais que y - a + c = 1 x + y + c = 0 .

c) intersecção de r (item(a)) com os pontos x ,   y ,   z ,   a ,   b ,   c ∈ R 6 tais que x + y + c = 0 .

d) intersecção de r (item(a)) com os pontos x ,   y ,   z ,   a ,   b ,   c ∈ R 6 tais que { x + y + z = 2 .

Passo 1

a) A parametrização de r é dada por 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 + t 2 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 - ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) = 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 + t 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 = ( t + 1 ,   - t + 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 t ) , t ∈ R .

Agora, para a equação cartesiana, consideramos que as coordenadas da reta seja ( x ,   y ,   z ,   a ,   b , c ) . Assim, temos:

x = t + 1 y =   - t + 1 z = 0 a = 0 b = 0 c = 2 t

Pela última equação temos que c = 2 t , ou seja t = c 2 . Fazendo essa substituição na primeira equação ficamos com x = c 2 + 1 e na segunda com y =   - c 2 + 1 . Portanto a equação cartesiana da reta r é dada pelo seguinte sistema:

x = c 2 + 1 y =   - c 2 + 1 z = 0 a = 0 b = 0

Passo 2

b) A intersecção da reta r com os pontos dados são as soluções do sistema abaixo:

y - a + c = 1 x + y + c = 0 x - c 2 = 1 y + c 2 = 1 z = 0 a = 0 b = 0

A matriz estendida desse sistema é dada por:

0 1 0 - 1 0         1 | 1 1 1 0 0 0         1 | 0 1 0 0 0 0 - 1 2 | 1 0 1 0 0 0         1 2 | 1 0 0 1 0 0         0 | 0 0 0 0 1 0         0 | 0 0 0 0 0 1         0 | 0

Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:

1 0 0 0 0 0 | 0 0 1 0 0 0 0 | 0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 0 1 | 0 0 0 0 0 0 0 | 1

Como a última equação do sistema não possui solução, segue que o sistema como um todo não possui solução. Logo, a reta r não se intercepta com os pontos dados.

c) A intersecção da reta r com os pontos dados são as soluções do sistema abaixo:

x + y + c = 0 x - c 2 = 1 y + c 2 = 1 z = 0 a = 0 b = 0

A matriz estendida desse sistema é dada por:

1 1 0 0 0         1 | 0 1 0 0 0 0 - 1 2 | 1 0 1 0 0 0         1 2 | 1 0 0 1 0 0         0 | 0 0 0 0 1 0         0 | 0 0 0 0 0 1         0 | 0

Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:

1 0 0 0 0         0 |       0 0 1 0 0 0         0 |       2 0 0 1 0 0         0 |       0 0 0 0 1 0         0 |       0 0 0 0 0 1         0 |       0 0 0 0 0 0         1 | - 2

Portanto, a solução do sistema, e, consequentemente, a intersecção da reta r com os pontos dados, é o ponto ( 0,2 , 0,0 , 0 , - 2 ) .

d) A interseção da reta r com os pontos dados são as soluções do sistema abaixo:

x + y + z = 2 x - c 2 = 1 y + c 2 = 1 z = 0 a = 0 b = 0

A matriz estendida desse sistema é dada por:

1 1 1 0 0         0 | 2 1 0 0 0 0 - 1 2 | 1 0 1 0 0 0         1 2 | 1 0 0 1 0 0         0 | 0 0 0 0 1 0         0 | 0 0 0 0 0 1         0 | 0

Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:

1 0 0 0 0       - 1 2 |       1 0 1 0 0 0               1 2 |       1 0 0 1 0 0               0 |       0 0 0 0 1 0               0 |       0 0 0 0 0 1               0 |       0 0 0 0 0 0               0 |       0

Portanto, a solução do sistema, e, consequentemente, a intersecção da reta r com os pontos dados, é dada por 1 + c 2 , 1 - c 2 , 0,0 , 0 , c ,   c ∈   R .

Resposta

a) Equação paramétrica:

( t + 1 ,   - t + 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 t ) , t ∈ R .

Equação cartesiana:

x = c 2 + 1 y =   - c 2 + 1 z = 0 a = 0 b = 0

b) A reta r não se intercepta com esses pontos.

c) ( 0,2 , 0,0 , 0 , - 2 ) .

d) 1 + c 2 , 1 - c 2 , 0,0 , 0 , c ,   c ∈   R .