Diagonalizabilidade e invertibilidade são conceitos distintos. Para confirmar esta afirmação, construa uma matriz 2x2 que é:

  1. Diagonalizável mas não é invertível;
  2. Invertível mas não é diagonalizável

Passo 1

A ideia é resolver essa questão só com a lógica, olha só: para que uma matriz seja invertível seu determinante deve ser diferente de zero, em comparação, para que uma matriz seja diagonalizável se existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P - 1 .

Passo 2

a) Então, para montarmos uma matriz 2x2 que satisfaça a condição de ser diagonalizável, mas não invertível, devemos zerar o determinante, o que pode ser facilmente feito colocando 0 nas duas entradas de uma das linhas da matriz, dessa forma:

Como a informação que importa é que as diagonais sejam zeradas, pode ser qualquer número real. Ah beleza, já entendemos que essa matriz não é invertível, mas como saber se é diagonalizável? Fácil fácil, vamos assumir qualquer valor real para x, por exemplo se x=2, e descobrir se a matriz possui autovalores, dessa forma:

Desenvolvendo a matriz temos λ 2 - λ = λ ( λ - 1 ) . Portanto os autovalores são λ = 0   ,   λ = 1 , logo, a matriz é diagonalizável, mas não é invertível!!!

Passo 3

b) Continuando, para montar uma matriz 2x2 que seja invertível, mas não diagonalizável, temos que garantir que o determinante seja diferente de zero, ou seja, uma das diagonais deve ter todos os termos número reais, podemos colocar 1, por exemplo:

Sobre a outra diagonal tem uma informação importante, para que a matriz seja diagonalizável, devemos ter o número de autovalor igual à dimensão da matriz, então nós temos duas possíveis situações:

1) x=0:

Nesse caso, nós teríamos 1 único autovalor, λ = 1 , e a dimensão da matriz também seria 1, logo a matriz seria diagonalizável;

2) x≠0, por exemplo se x=2:

Nesse caso, nós teríamos 1 único autovalor, λ = 1 , porém a dimensão da matriz seria 2, logo a matriz seria não é diagonalizável.

Portanto, a matriz

s e n d o   x ≠ 0 é invertível, mas não é diagonalizável!

Resposta