Se f é diferenciável, então a sequência { a k } definida pela recorrência a k + 1 = f ( a k ) , para k ≥ 1 , convergirá qualquer que seja a 1 , se a derivada f ' for contínua e | f ' ( x ) | ≤ B < 1 para alguma constante positiva B .

a) Para a função f dada, verifique que a sequência { a n } converge qualquer que seja a 1 , determinando um valor conveniente de B .

f ( a k ) = a k 2 a k 2 + 1 + 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para garantir que a função dada converge, ela deve respeitar todas as condições dadas no enunciado, portanto, vamos calcular a derivada desta função tomar seu módulo e ver se a relação de desigualdade | f ' ( x ) ≤ B < 1 | , belezinha? Bora lá!

Passo 2

Esta função é diferenciável e a sua derivada é dada por:

f ' ( a k ) = 2 a k a k 2 + 1 - a k 2 ( a k 2 + 1 ) 2 2 a k = 2 a k a k 2 + 1 ( 1 - a k 2 a k 2 + 1 )

Aqui eu usei a regra do produto, note que o termo a k 2 / ( a k 2 + 1 ) é sempre menor do que 1, portanto | f ' ( a k ) | nunca é maior que 2 a k / ( a k 2 + 1 ) . Portanto é possível escrever a desigualdade 2 a k a k 2 + 1 ≤ B < 1 sob uma escolha conveniente de B , como por exemplo B = 2 a k a k 2 + 1 .

Essa alternativa foi isso, bora para a próxima!

Resposta

Ao longo do passo 2.