Se f é diferenciável, então a sequência { a k } definida pela recorrência a k + 1 = f ( a k ) , para k ≥ 1 , convergirá qualquer que seja a 1 , se a derivada f ' for contínua e | f ' ( x ) | ≤ B < 1 para alguma constante positiva B .

a) Para a função f dada, verifique que a sequência { a n } converge qualquer que seja a 1 , determinando um valor conveniente de B .

f ( a k ) = 1 4 s i n ( a k ) c o s ( a k ) + 1

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para garantir que a função dada converge, ela deve respeitar todas as condições dadas no enunciado, portanto, vamos calcular a derivada desta função tomar seu módulo e ver se a relação de desigualdade | f ' ( x ) ≤ B < 1 | , belezinha? Bora lá!

Passo 2

Esta função é diferenciável e a sua derivada é dada por:

f ' ( a k ) = 1 4 [ c o s ( a k ) 2 - s i n ( a k ) 2 ]   =   1 4 [ 1 - s i n 2   ( a k ) - s i n 2 ( a k ) ] = 1 4 [ 1 - 2 s i n 2 ( a K ) ]

Aqui eu usei a regra do produto, e a relação s i n 2   ( a k ) + c o s 2 ( a k ) = 1 . Note que como a função senoidal tem módulo máximo igual a 1, | f ' ( a k ) | nunca é maior que 1 / 4 . Portanto é possível escrever a desigualdade 1 / 4 ≤ B < 1 sob uma escolha conveniente de B , como por exemplo B = 1 / 4 .

Essa alternativa foi isso, bora para a próxima!

Resposta

Ao longo do passo 2.