Se é diferenciável, então a sequência definida pela recorrência , para , convergirá qualquer que seja , se a derivada for contínua e para alguma constante positiva .
a) Para a função dada, verifique que a sequência converge qualquer que seja , determinando um valor conveniente de .
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Para garantir que a função dada converge, ela deve respeitar todas as condições dadas no enunciado, portanto, vamos calcular a derivada desta função tomar seu módulo e ver se a relação de desigualdade , belezinha? Bora lá!
Passo 2
Esta função é diferenciável e a sua derivada é dada por:
Aqui eu usei a regra do produto, e a relação . Note que como a função senoidal tem módulo máximo igual a 1, nunca é maior que . Portanto é possível escrever a desigualdade sob uma escolha conveniente de , como por exemplo .
Essa alternativa foi isso, bora para a próxima!
Resposta
Ao longo do passo 2.