Se f é diferenciável, então a sequência { a k } definida pela recorrência a k + 1 = f ( a k ) , para k ≥ 1 , convergirá qualquer que seja a 1 , se a derivada f ' for contínua e | f ' ( x ) | ≤ B < 1 para alguma constante positiva B .

b) Dê uma aproximação, com duas decimais, de l i m n → ∞ a n , se a 1 = 1 e também se a 1 = - 100 .

f ( a k ) = a k 2 a k 2 + 1 + 2

Passo 1

Vamos continuar esta questão! Agora precisamos utilizar a recorrência dada no enunciado:

a k + 1   =   a k 2 a k 2 + 1 + 2

Portanto:

a 2 = 1 2 + 2 = 5 2 = 2,5

Continuando a análise, temos que:

a 3 = 25 / 4 29 / 4 + 2 = 25 29 + 58 29 = 83 / 29 = 2,86

a 4 = 2,8 6 2 2,8 6 2 + 1 + 2 = 2,89

a 5 = 2,8 9 2 2,8 9 2 + 1 + 2 = 2,89

Note que em 2 decimais, este valor continuará se repetindo, portanto, por indução matemática, temos que:

l i m n → ∞ a n = 2,89

É preciso repetir o processo para a 1 = - 100 , bora lá!

Passo 2

Utilizando a 1 = - 100 , temos:

a 2 = ( - 100 ) 2 ( - 100 ) 2 + 1 + 2 = 2,99

a 3 = ( 2,99 ) 2 ( 2,9 9 2 + 1 ) + 2 = 2,89

Como independentemente de a 1 , a 3 tem o mesmo valor, o limite continuará o mesmo:

l i m n → ∞ a n = 2,89

Resposta

l i m n → ∞ a n = 2,89