Se f é diferenciável, então a sequência { a k } definida pela recorrência a k + 1 = f ( a k ) , para k ≥ 1 , convergirá qualquer que seja a 1 , se a derivada f ' for contínua e | f ' ( x ) | ≤ B < 1 para alguma constante positiva B .

b) Dê uma aproximação, com duas decimais, de l i m n → ∞ a n , se a 1 = 1 e também se a 1 = - 100

f ( a k ) = 1 4 s i n ( a k ) c o s ( a k ) + 1

Passo 1

Vamos continuar esta questão! Agora precisamos utilizar a recorrência dada no enunciado:

a k + 1   =   1 4 s i n ( a k ) c o s ( a k ) + 1

Portanto:

a 2 = 1 4 s i n ( a 1 ) c o s ( a 1 ) + 1 = 1 4 s i n ( 1 ) c o s ( 1 ) + 1 = 1,11

Continuando a análise, temos que:

a 3 = 1 4 s i n ( a 2 ) c o s ( a 2 ) + 1 = 1 4 s i n ( 1,11 ) c o s ( 1,11 ) + 1 = 1,10

a 4 = 1 4 s i n ( a 3 ) c o s ( a 3 ) + 1 = 1 4 s i n ( 1,09 ) c o s ( 1,09 ) + 1 = 1,10

a 5 = 1 4 s i n ( a 4 ) c o s ( a 4 ) + 1 = 1 4 s i n ( 1,10 ) c o s ( 1,10 ) + 1 = 1,10

Note que em 2 decimais, este valor continuará se repetindo, portanto, por indução matemática, temos que:

l i m n → ∞ a n = 1,10

É preciso repetir o processo para a 1 = - 100 , bora lá!

Passo 2

Utilizando a 1 = - 100 , temos:

a 2 = 1 4 s i n ( a 1 ) c o s ( a 1 ) + 1 = 1 4 s i n ( - 100 ) c o s ( - 100 ) + 1 = 1,11

Como independentemente de a 1 , a 2 tem o mesmo valor, o limite continuará o mesmo:

l i m n → ∞ a n = 1,10

Resposta

l i m n → ∞ a n = 1,10