Enunciado

Dizemos que uma matriz A , n   x   n , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (b)Mostre que se A e B são simétricas, então A + B e α A são simétricas, para todo escalar α .

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? 😊

Vamos considerar a matriz A sendo:

A = a b c d e f g h i

E a matriz B sendo:

B = j k l m n o p q r

Ah, vamos usar matrizez 3   x   3 para deixar o exemplo mais visível. Para uma matriz n   x   n precisaríamos apenas adicionar as reticências.

Passo 2

Se A e B são matrizes simétricas, então:

A = A t

B = B t

A matriz transposta de A e B são dadas por:

A t = a d g b e h c f i

B t = j m p k n q l o r

Passo 3

As matrizes A + B e α A são dadas por:

A + B = a + j b + k c + l d + m e + n f + o p + g q + h r + i

α A = α a α b α c α d α e α f α g α h α i

A + B e α A serão simétricas se:

A + B = A + B t

α A = α A t

Portanto:

A + B t = a + j d + m p + g b + k e + n 1 + h c + l f + o r + i

Como A = A t e B = B t , então:

a + j b + k c + l d + m e + n f + o p + g q + h r + i = a + j d + m p + g b + k e + n 1 + h c + l f + o r + i

b = d ; c = g ; h = f e m = k ; p = l ; q = o

Analogamente:

α A = α A t

α a α b α c α d α e α f α g α h α i = α a α d α g α b α e α h α c α f α i

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Seja m uma matriz 3 × 3 cujas linhas são linearmente independentes. Considere: e 1 = | 1 | | 0 | | 0 | ; e 2 =| 0 | | 1 | | 0 | e e 3 = | 0 | | 0 | | 1 | Resolvendo os sistemas m·x=e 1 , m·x=e 2 e m·x
Considere as linhas de uma matriz 3 × 3 como matrizes 1 × 3 e as colunas como matrizes 3 × 1 . Sejam m e n matrizes 3 × 3 . Se as linhas de m são u 1 ,u 2 ,u 3 e as colunas de n são v 1 ,v 2 ,v 3 , mo
Sejam 1 2 3 4 = m ; m ' =1 2 3 6 ; w =1 5 e O =0 0 Determine as matrizes v = x y e v ' =x ' y ' tais que m·v=wem '·v'=0 .
Bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 70%. Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma tonelada de b
Resolva o sistema: x+3 y+5 z+7 w=12 3 x+5 y+7 z+w=0 5 x+7 y+z+3 w=4 7 x+y+3 z+5 w=16 Na sua opinião, a Regra de Cramer (que se estuda no colégio) é um m´método prático para resolver este sistema?