Dois conjuntos, A e B, são equipotentes quando ou existe bijetora. Mostre, em cada caso seguinte, que os conjuntos A e B são equipotentes.
1º) e
2º) e
3º) e
4º) e , com a e b reais e a
Sugestão: descubra: em cada caso, bijetora.
Passo 1
Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!
Os conjuntos são equipotentes se são função bijetora ou é o conjunto vazio, bora lá escrever nossos conjuntos! Vamos usar a sugestão que não somos bobos e vamos descobrir funções bijetoras.
- Esse é bem simples, precisamos que nossa função seja dos números naturais asterisco, ou seja, sem contar o 0, pode escrever então simplesmente uma soma:
- Nesse caso deve ser dos inteiros para os naturais, ou seja, deve ter sua parte negativa, vamos botar uma pilha de duas escolhas então, caso x seja menor que 0 ou caso seja maior, mas lembrando que deve sempre ser positiva o valor da função:
- Aqui deve ser dos reais para os reais positivos, ou seja, a função nunca pode ser negativa, então é só colocar:
- Esse é o mais esquisito, pois ela deve sair de para , com b maior que a. Podemos notar que a metade da média dos limites sempre vai estar dentro do intervalo, assim com a metade da diferença. Vamos escrever isso:
Assim, a função nunca será 0 e a função vai ser bijetora!
Passo 2
Assim, temos nossa função bem definida para todo o domínio dos naturais.
Passo 3
E nunca teremos o valor da função negativa! Bora prosseguir que estamos bem demais!
Passo 4
Dessa forma teremos uma função bijetora, respeitando os limites, por exemplo, caso x for -1:
E caso for 1:
Temos nossos limites e a bijeção!