Dois conjuntos, A e B, são equipotentes quando A = B = ∅ ou existe f : A → B bijetora. Mostre, em cada caso seguinte, que os conjuntos A e B são equipotentes.

1º) A = N e B = N *

2º) A = Z e B = N

3º) A = R e B = R +

4º) A = ] - 1,1 [ e B = ] a , b [ , com a e b reais e a

Sugestão: descubra: em cada caso, f : A → B bijetora.

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Os conjuntos são equipotentes se são função bijetora ou é o conjunto vazio, bora lá escrever nossos conjuntos! Vamos usar a sugestão que não somos bobos e vamos descobrir funções bijetoras.

  1. Esse é bem simples, precisamos que nossa função seja dos números naturais asterisco, ou seja, sem contar o 0, pode escrever então simplesmente uma soma:
  2. f x = x + 1

    Assim, a função nunca será 0 e a função vai ser bijetora!

    Passo 2

  3. Nesse caso deve ser dos inteiros para os naturais, ou seja, deve ter sua parte negativa, vamos botar uma pilha de duas escolhas então, caso x seja menor que 0 ou caso seja maior, mas lembrando que deve sempre ser positiva o valor da função:
  4. f x = 2 x ,   s e   x ≥ 0 - 2 x - 1 ,   s e   x < 0

    Assim, temos nossa função bem definida para todo o domínio dos naturais.

    Passo 3

  5. Aqui deve ser dos reais para os reais positivos, ou seja, a função nunca pode ser negativa, então é só colocar:
  6. f x = 2 x

    E nunca teremos o valor da função negativa! Bora prosseguir que estamos bem demais!

    Passo 4

  7. Esse é o mais esquisito, pois ela deve sair de - 1 < x < 1 para a < x < b , com b maior que a. Podemos notar que a metade da média dos limites sempre vai estar dentro do intervalo, assim com a metade da diferença. Vamos escrever isso:

f x = b - a 2 ⋅ x + a + b 2

Dessa forma teremos uma função bijetora, respeitando os limites, por exemplo, caso x for -1:

f - 1 = b - a 2 ⋅ - 1 + a + b 2 = a

E caso for 1:

f 1 = b - a 2 ⋅ 1 + a + b 2 = b

Temos nossos limites e a bijeção!

Resposta

  1. f x = x + 1
  2. f x = 2 x ,   s e   x ≥ 0 - 2 x - 1 ,   s e   x < 0
  3. f x = 2 x
  4. f x = b - a 2 ⋅ x + a + b 2