Each statement in Exercises 33–38 is either true (in all cases) or false (for at least one example). If false, construct a specific example to show that the statement is not always true. Such an example is called a counterexample to the statement. If a statement is true, give a justification. (One specific example cannot explain why a statement is always true. You will have to do more work here than in Exercises 21 and 22.)

If v 1 , . . . ., v 4 are in R 4 and v 3 is not a linear combination of v 1 ,   v 2 ,   v 4 ,   then { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } is linearly independent.

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

v 3 não garante que { v 1 ,   v 2 , v 4 } é um conjunto linearmente independente. Vamos utilizar um contraexemplo para entendermos melhor.

Passo 2

v 1 = 0 1 1 ,   v 2   =   0 3 3 ,   v 3 =   5 0 0 ,   v 4 = 0 2 2

É claro que v 1 , v 2 , v 4 é um conjunto linearmente dependente, mas v 3 não pode ser escrito como uma combinação linear de seus vetores. Então, v 1 , v 2 , v 3 ,     v 4 é um conjunto linearmente dependente com um peso zero em v 3     .

Resposta

Falso