Each statement in Exercises 33–38 is either true (in all cases) or false (for at least one example). If false, construct a specific example to show that the statement is not always true. Such an example is called a counterexample to the statement. If a statement is true, give a justification. (One specific example cannot explain why a statement is always true. You will have to do more work here than in Exercises 21 and 22.)

If v 1 , . . . ., v 4 are linearly independente vectors in R 4 , then { v 1 ,   v 2 ,   v 3 , } is also linearly independent. [Hint: Think about x 1 v 1 +   x 2 v 2   +   x 3 v 3   +   0 ∙ v 4 = 0 . ]

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

Sejam v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 são vetores linearmente independentes pertencentes a R 4 e suponha o oposto, que eles são vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

Passo 2

A definição diz que são vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 linearmente dependentes se houver escalares a 1 ,   a 2 ,   a 3 , pelo menos um diferente de zero, o que é

a 1 v 1 +   a 2 v 2 +   a 3 v 3   =   0

considere a equação

a 1 v 1 +   a 2 v 2 +   a 3 v 3   +   0 ∙ v 4   =   0

Portanto, os vetores são v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 linearmente dependentes, o que é uma contradição com a suposição inicial.

Então, os vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3   são linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro.