Each statement in Exercises 33–38 is either true (in all cases) or false (for at least one example). If false, construct a specific example to show that the statement is not always true. Such an example is called a counterexample to the statement. If a statement is true, give a justification. (One specific example cannot explain why a statement is always true. You will have to do more work here than in Exercises 21 and 22.)

If v 1 , . . . ., v 4 are in R 4 and v 3 = 2 v 1 + v 2 , then { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } is linearly dependent.

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

Temos v 1 ,   .   .   . ,   v 4 estão em R 4 , v 3   =   2 v 1 +   v 2 . Mostre que { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } é linearmente dependente. Dependência Linear O conjunto { v 1 ,     .   .   . ,   v p }   é linearmente dependente se existirem pesos c 1 , ..., c p tais que c 1 v 1   +   c 2 v 2   +   .   .   .   +   c p v p . Manipule a equação dada para que ela tenha uma forma que esteja de acordo com a definição de dependência linear.

Passo 2

Para satisfazer a definição de dependência linear, queremos criar uma equação da forma:

c 1 v 1 +   c 2 v 2 +   c 3 v 3 + c 4 v 4   =   0

nos é dado:

v 3   =   2 v 1 + v 2

v 4 não é uma combinação linear de v 3 , portanto, adicionar 0 v 4 a ambos os lados não altera a equação:

v 3   +   0 v 4   =   2 v 1   +   v 2   +   0 v 4

v 3   =   2 v 1 +   v 2   +   0 v 4

subtrair a expressão à direita de ambos os lados:

- 2 v 1 - 1 v 2 + v 3 - 0 v 4   =   0

Assim, temos

- 2 v 1 - 1 v 2 + v 3 - 0 v 4   =   0

Resposta

Verdade