Um elemento a de um anel A se diz idempotente se a 2 = a e nilpotente se existe n ∈ N * , de modo que a n = 0 . Mostre que o único elemento não nulo e idempotente de um anel de integridade é a unidade e que zero é o único elemento nilpotente de um anel de integridade.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi dado um elemento a de um anel A se diz idempotente se a 2 = a e nilpotente se existe n ∈ N * , de modo que a n = 0 . Mostre que o único elemento não nulo e idempotente de um anel de integridade é a unidade e que zero é o único elemento nilpotente de um anel de integridade.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que A se diz idempotente se,

a 2 = a , se existe n ∈ N * , de modo que

a n = 0

Com isso vamos ter que,

a m a n = a m + n → a m n = a m n

Logo,

a m . a 0 = a m + 0 sendo,

a ∈ A     e     m , n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a ∈ A     e     m , n