Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de P ( t ) gerado por

a) u = t 3 + 2 t 2 - 2 t + 1 ,       v = t 3 + 3 t 2 - 3 t + 4 ,       w = 2 t 3 + t 2 - 7 t + 11

b) u = t 3 + t 2 - 3 t + 2 ,       v = 2 t 3 + t 2 + t - 4 ,       w = 4 t 3 + 3 t 2 - 5 t + 2

Passo 1

Oii galera, tudo certo?

Olha só, nesse exercício, queremos encontrar a base dos subespaços gerados pelos elementos que foram dados

Certo, eles são gerados por esses elementos, já não podemos dizer que os próprios já são bases?

Nãooo, porque pra ser base também precisa ser linearmente independente, sacou?

Então, vamos verificar se os elementos são LI, e caso não sejam, teremos que tirar um elemento ou outro, vamos lá

Passo 2

a) u = t 3 + 2 t 2 - 2 t + 1 ,       v = t 3 + 3 t 2 - 3 t + 4 ,       w = 2 t 3 + t 2 - 7 t + 11

Escrevendo na forma vetorial, os elementos dados são

u = 1,2 , - 2,1

v = 1,3 , - 3,4

w = 2,1 , - 7,11

Vamos colocar esses elementos em uma matriz:

1 2 - 2 1 1 3 - 3 4 2 1 - 7 11

Agora vamos escalonar essa matriz, ok?

Passo 3

Podemos começar fazendo:

L 2 → L 2 - L 1

L 3 → L 3 - 2 L 1

E fica assim:

1 2 - 2 1 0 1 - 1 3 0 - 3 - 3 9

Agora vamos fazer

L 1 → L 1 - 2 L 2

L 3 → L 3 + 3 L 2

Então:

1 0 0 - 2 0 1 - 1 3 0 0 - 6 18

Como nenhuma linha zerou, quer dizer que os vetores são LI, e portanto o espaço dado realmente tem dimensão 3 e sua base é

u = t 3 - 2

v = t 2 - t + 3

w = - 6 t + 18

Passo 4

b) u = t 3 + t 2 - 3 t + 2 ,       v = 2 t 3 + t 2 + t - 4 ,       w = 4 t 3 + 3 t 2 - 5 t + 2

Escrevendo na forma vetorial, os elementos dados são

u = 1,1 , - 3,2

v = 2,1 , 1 , - 4

w = 4,3 , - 5,2

Vamos colocar esses elementos em uma matriz:

1 1 - 3 2 2 1 1 - 4 4 3 - 5 2

Agora vamos escalonar essa matriz, ok?

Passo 5

Vamos começar fazendo

L 2 → L 2 - 2 L 1

L 3 → L 3 - 4 L 1

Fica assim:

1 1 - 3 2 0 - 1 7 - 8 0 - 1 7 - 6

Como nenhuma das linhas zera, encontramos que o nosso subespaço tem dimensão 3 e sua base é

u = t 3 + t 2 - 3 t + 2

v = - t 2 + 7 t - 7

w = - t 2 + 7 t - 6

E fimmm

Resposta

a)

u = t 3 - 2

v = t 2 - t + 3

w = - 6 t + 18

b) u = t 3 + t 2 - 3 t + 2

v = - t 2 + 7 t - 7

w = - t 2 + 7 t - 6