Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de M 2,2 gerado por

A = 1 - 5 - 4 2

B = 1 1 - 1 5

C = 2 - 4 - 5 7

D = 1 - 7 - 5 1

Passo 1

E aííí gente

Para encontrarmos a tal da base, vamos ter que encontrar matrizes linearmente independentes que gerem o nosso subespaço

Já temos matrizes que geram, agora precisamos ver se elas são LI, né? Hahahaha

Se elas forem LD, vamos ter que ir tirando uma matriz por vez até o conjunto ser LI

Bora lá

Passo 2

Vamos escrever uma combinação linear das matrizes que temos e igualar à matriz nula:

α 1 - 5 - 4 2 + β 1 1 - 1 5 + γ 2 - 4 - 5 7 + ω 1 - 7 - 5 1 = 0 0 0 0

Multiplicando cada matriz pelo coeficiente e somando tudo, temos

α + β + 2 γ + ω - 5 α + β - 4 γ - 7 ω - 4 α - β - 5 γ - 5 ω 2 α + 5 β + 7 γ + ω = 0 0 0 0

Igualando elemento com elemento, temos o sistema:

α + β + 2 γ + ω = 0 - 5 α + β - 4 γ - 7 ω = 0 - 4 α - β - 5 γ - 5 ω = 0 2 α + 5 β + 7 γ + ω = 0

Passo 3

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:

1 1 2 1 - 5 1 - 4 - 7 - 4 - 1 - 5 - 5 2 5 7 1 0 0 0 0

Vamos escalonar essa matriz para encontrarmos a solução do sistema

Passo 4

Temos

1 1 2 1 - 5 1 - 4 - 7 - 4 - 1 - 5 - 5 2 5 7 1 0 0 0 0

Vamos fazer

L 2 → L 2 + 5 L 1

L 3 → L 3 + 4 L 1

L 4 → L 4 - 2 L 1

1 1 2 1 0 6 6 - 2 0 3 3 - 1 0 3 3 - 1 0 0 0 0

Opa, peraí! As duas últimas linhas são iguais!!! E a segunda é o dobro delas D:

Isso quer dizer que essas 3 linhas formam um conjunto LD uma com a outra

Dessa forma, podemos tirar 2 dessas linhas, ou seja: podemos tirar 2 matrizes do conjunto dado pelo enunciado

Passo 5

O enunciado nos deu

A = 1 - 5 - 4 2

B = 1 1 - 1 5

C = 2 - 4 - 5 7

D = 1 - 7 - 5 1

Tirando as matrizes C e D , por exemplo, encontramos que a base do subespaço é

1 - 5 - 4 2 , 1 1 - 1 5  

E portanto, o subespaço possui dimensão 2

Resposta

1 - 5 - 4 2 , 1 1 - 1 5

Dimensão 2