Encontre uma equação do hiperplano H de R4 que

(a) contenha P(1, 2, –3, 2) e seja normal a u = [2, 3, –5, 6];

(b) contenha P(3, –1, 2, 5) e seja paralelo ao hiperplano 2x1 - 3x2 + 5x3 - 7x4 = 4

Passo 1

E aíí gente, vamos lá?

a) Queremos um plano que tenha o ponto P = ( 1,2 , - 3,2 ) e que seja ortogonal a u = ( 2,3 , - 5,6 )

Primeiramente, vamos lembrar a equação geral de um plano em R 4 :

a x + b y + c z + d w + e = 0

Nessa equação, o vetor ( a , b , c , d ) é o vetor normal do plano, ou seja, o vetor ortogonal a ele. Dessa forma, já temos o esqueleto da nossa equação, pois temos o vetor normal u = ( 2,3 , - 5,6 )

2 x + 3 y - 5 z + 6 w + e = 0

Certo, agora precisamos encontrar esse e

Passo 2

Sabemos que o nosso plano passa pelo ponto P = ( 1,2 , - 3,2 ) , então, é verdadeira a equação:

2 × 1 + 3 × 2 - 5 × - 3 + 6 × 2 + e = 0

Ahhhh boa! Agora é só isolar o e pra encontrarmos o seu valor

2 + 6 + 15 + 12 + e = 0

e = - 35

Logo, a equação do plano é

2 x + 3 y - 5 z + 6 w - 35 = 0

Passo 3

b) A ideia aqui é a mesma do item anterior. Se o nosso plano é paralelo ao plano

2 x - 3 y + 5 z - 7 w = 4

Então os dois planos têm o mesmo vetor normal:

u = 2 , - 3,5 , - 7

A única coisa que vai mudar entre eles é o termo independente, aquele 4 ali

Então, por enquanto, a equação do nosso plano é essa

2 x - 3 y + 5 z - 7 w + e = 0

Passo 4

Sabemos que o nosso plano passa pelo ponto P = ( 3 , - 1,2 , 5 ) , então, é verdadeira a equação:

2 × 3 - 3 × - 1 + 5 × 2 - 7 × 5 + e = 0

Agora é só isolar o e pra encontrarmos o seu valor

6 + 3 + 10 - 35 + e = 0

e = 16

Logo, a equação do plano é

2 x - 3 y + 5 z - 7 w + 16 = 0

Showw?

Resposta

a) 2 x + 3 y - 5 z + 6 w - 35 = 0

b) 2 x - 3 y + 5 z - 7 w + 16 = 0