Encontre uma equação do plano H que

(a) tenha uma normal N=3i-4j+5k e que contenha o ponto P(1, 2, –3);

(b) seja paralelo ao plano 4x+3y-2z=11 e que contenha o ponto Q(2, –1, 3);

Passo 1

Vamos lááá pessoal!

a) Queremos um plano que tenha o ponto P = ( 1,2 , - 3 ) e que seja ortogonal a u = ( 3 , - 4,5 )

Primeiramente, vamos lembrar a equação geral de um plano em R 4 :

a x + b y + c z + d = 0

Nessa equação, o vetor ( a , b , c ) é o vetor normal do plano, ou seja, o vetor ortogonal a ele. Dessa forma, já temos o esqueleto da nossa equação, pois temos o vetor normal u = ( 3 , - 4,5 )

3 x - 4 y + 5 z + d = 0

Certo, agora precisamos encontrar esse d

Passo 2

Sabemos que o nosso plano passa pelo ponto P = ( 1,2 , - 3 ) , então, é verdadeira a equação:

3 × 1 - 4 × 2 + 5 × ( - 3 ) + d = 0

Ahhhh boa! Agora é só isolar o d pra encontrarmos o seu valor

3 - 8 - 15 + d = 0

d = 20

Logo, a equação do plano é

3 x - 4 y + 5 z + 20 = 0

Passo 3

b) A ideia aqui é a mesma do item anterior. Se o nosso plano é paralelo ao plano

4 x + 3 y - 2 z = 11

Então os dois planos têm o mesmo vetor normal:

u = 4,3 , - 2

A única coisa que vai mudar entre eles é o termo independente, aquele 11 ali

Então, por enquanto, a equação do nosso plano é essa

4 x + 3 y - 2 z + d = 0

Passo 4

Sabemos que o nosso plano passa pelo ponto Q = ( 2 , - 1,3 ) , então, é verdadeira a equação:

4 × 2 + 3 × - 1 - 2 × 3 + d = 0

Agora é só isolar o d pra encontrarmos o seu valor

8 - 3 - 6 + d = 0

d = 1

Logo, a equação do plano é

4 x + 3 y - 2 z + 1 = 0

Showw?

Resposta

a) 3 x - 4 y + 5 z + 20 = 0

b) 4 x + 3 y - 2 z + 1 = 0