Enunciado

Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta ou plano dados.

O plano em R 3 que contém o ponto P ( - 2 ,   1 ,   0 ) e é paralelo ao plano - 8 x +   6 y -   z =   4 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro devemos lembrar que se dois planos são paralelos seus vetores normais seguem a relação n 1 = α ⋅ n 2 , pra facilitar nossas contas vamos fazer   α = 1 .

Então n 2 = ( - 8 ,   6 ,   - 1 ) .

Como a equação do plano é dada por a x + b y + c z + d = 0 , vamos substituir pelo ponto que a questão dá.

- 8 * - 2 + 6 * 1 + - 1 * 0 + d = 0

d = - 22

Assim nossa equação do plano é:

- 8 x +   6 y -   z - 22 =   0

Passo 2

Agora vamos isolar z e fazer x = t 1 e y = t 2 , assim temos:

x = t 1 y = t 2 z = - 22 - 8 t 1 + 6 t 2

Por fim precisamos só reorganizar as equações paramétricas e obtemos nossa equação vetorial.

x , y ,   z = 0 ,   0 ,   - 22 + t 1 1 ,   0 ,   - 8 + t 2 ( 0 ,   1 ,   6 )

Resposta

x , y ,   z = 0 ,   0 ,   - 22 + t 1 1 ,   0 ,   - 8 + t 2 ( 0 ,   1 ,   6 )

e

x = t 1 y = t 2 z = - 22 - 8 t 1 + 6 t 2

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